三种梯度下降法对比（Batch gradient descent、Mini-batch gradient descent 和 stochastic gradient descent）

梯度下降（GD）是最小化风险函数、损失函数的一种常用方法，随机梯度下降(stochastic gradient descent)、批量梯度下降(Batch gradient descent)和mini-batch梯度下降(Mini-batch gradient descent) 是三种迭代求解思路，下面从公式和实现的角度对三者进行分析。

下面的h(x)是要拟合的函数，J(theta)损失函数，theta是参数，要迭代求解的值，theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。其中m是训练集的记录条数，j是参数的个数。


一、批量梯度下降的求解思路如下：

1. Batch gradient descent 就是一次迭代训练所有样本，就这样不停的迭代。整个算法的求解思路可以表示为：

（1） 将J(theta)对theta求偏导，得到每个theta对应的的梯度：

（2） 由于是要最小化风险函数，所以按每个参数theta的梯度负方向，来更新每个theta：

（3） 从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！！所以，这就引入了另外一种方法，随机梯度下降。

2. python实现算法：

X = data_input
Y = labels
parameters = initialize_parameters(layers_dims)
for i in range(0, num_iterations): #num_iterations--迭代次数
    # Forward propagation
    a, caches = forward_propagation(X, parameters)
    # Compute cost.
    cost = compute_cost(a, Y)
    # Backward propagation.
    grads = backward_propagation(a, caches, parameters)
    # Update parameters.
    parameters = update_parameters(parameters, grads)

Batch gradient descent的优点是理想状态下经过足够多的迭代后可以达到全局最优。但是缺点也很明显，就是如果你的数据集非常的大（现在很常见），根本没法全部塞到内存（显存）里，所以BGD对于小样本还行，大数据集就没法娱乐了。而且因为每次迭代都要计算全部的样本，所以对于大数据量会非常的慢。

二、随机梯度下降的求解思路如下：

1. 为了加快收敛速度，并且解决大数据量无法一次性塞入内存（显存）的问题，stochastic gradient descent（SGD）就被提出来了，SGD的思想是每次只训练一个样本去更新参数。具体实现思路：
（1）上面的风险函数可以写成如下这种形式，损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度，而上面批量梯度下降对应的是所有的训练样本：

（2）每个样本的损失函数，对theta求偏导得到对应梯度，来更新theta:

（3）随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将theta迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

2. python实现算法：

X = data_input
Y = labels
permutation = list(np.random.permutation(m))
shuffled_X = X[:, permutation]
shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1, m))
for i in range(0, num_iterations):
    for j in range(0, m):  # 每次训练一个样本
        # Forward propagation
        AL,caches = forward_propagation(shuffled_X[:, j].reshape(-1,1), parameters)
        # Compute cost
        cost = compute_cost(AL, shuffled_Y[:, j].reshape(1,1))
        # Backward propagation
        grads = backward_propagation(AL, shuffled_Y[:,j].reshape(1,1), caches)
        # Update parameters.
        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate)

如果我们的数据集很大，比如几亿条数据，num_iterationsnum_iterations 基本上 设置1，2，（10以内的就足够了）就可以。但是SGD也有缺点，因为每次只用一个样本来更新参数，会导致不稳定性大些(可以看下图（图片来自ng deep learning 课），每次更新的方向，不想batch gradient descent那样每次都朝着最优点的方向逼近，会在最优点附近震荡）。因为每次训练的都是随机的一个样本，会导致导致梯度的方向不会像BGD那样朝着最优点。
注意：代码中的随机把数据打乱很重要，因为这个随机性相当于引入了“噪音”，正是因为这个噪音，使得SGD可能会避免陷入局部最优解中。

下面来对比下SGD和BGD的代价函数随着迭代次数的变化图：

可以看到SGD的代价函数随着迭代次数是震荡式的下降的（因为每次用一个样本，有可能方向是背离最优点的）

三、Mini-batch梯度下降
1. mini-batch gradient descent 是batch gradient descent和stochastic gradient descent的折中方案，就是mini-batch gradient descent每次用一部分样本来更新参数，即 batch_sizebatch_size。因此，若batch_size=1batch_size=1 则变成了SGD，若batch_size=mbatch_size=m 则变成了batch gradient descent。batch_sizebatch_size通常设置为2的幂次方，通常设置2，4，8，16，32，64，128，256，5122，4，8，16，32，64，128，256，512（很少设置大于512）。因为设置成2的幂次方，更有利于GPU加速。现在深度学习中，基本上都是用 mini-batch gradient descent，（在深度学习中，很多直接把mini-batch gradient descent（a.k.a stochastic mini-batch gradient descent）简称为SGD，所以当你看到深度学习中的SGD，一般指的就是mini-batch gradient descent）。下面用几张图来展示下mini-batch gradient descent的原理（图片来自ng deep learning 课）：

• step1: 打乱数据：
  
• step2:对数据集进行划分：
  
  2. python实现算法：
• 首先要把训练集分成多个batch

# GRADED FUNCTION: random_mini_batches
def random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size = 64, seed = 0):
    """
    Creates a list of random minibatches from (X, Y)
    Arguments:
    X -- input data, of shape (input size, number of examples)
    Y -- true "label" vector (1 for blue dot / 0 for red dot), of shape (1, number of examples)
    mini_batch_size -- size of the mini-batches, integer

    Returns:
    mini_batches -- list of synchronous (mini_batch_X, mini_batch_Y)
    """
    np.random.seed(seed)            # To make your "random" minibatches the same as ours
    m = X.shape[1]                  # number of training examples
    mini_batches = []

    # Step 1: Shuffle (X, Y)
    permutation = list(np.random.permutation(m))
    shuffled_X = X[:, permutation]
    shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))

    # Step 2: Partition (shuffled_X, shuffled_Y). Minus the end case.
    num_complete_minibatches = m//mini_batch_size # number of mini batches
    for k in range(0, num_complete_minibatches):
        mini_batch_X = shuffled_X[:, k * mini_batch_size: (k + 1) * mini_batch_size]
        mini_batch_Y = shuffled_Y[:, k * mini_batch_size: (k + 1) * mini_batch_size]
        mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
        mini_batches.append(mini_batch)

    # Handling the end case (last mini-batch < mini_batch_size)
    if m % mini_batch_size != 0:
        mini_batch_X = shuffled_X[:, num_complete_minibatches * mini_batch_size : m]
        mini_batch_Y = shuffled_Y[:, num_complete_minibatches * mini_batch_size : m]
        mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
        mini_batches.append(mini_batch)

    return mini_batches

• 下面是在model中使用mini-batch gradient descent 进行更新参数

seed = 0
for i in range(0, num_iterations):
    # Define the random minibatches. We increment the seed to reshuffle differently the dataset after each epoch
    seed = seed + 1
    minibatches = random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size, seed)
    for minibatch in minibatches:
        # Select a minibatch
        (minibatch_X, minibatch_Y) = minibatch
        # Forward propagation
        AL, caches = forward_propagation(minibatch_X, parameters)
        # Compute cost
        cost = compute_cost(AL, minibatch_Y)
        # Backward propagation
        grads = backward_propagation(AL, minibatch_Y, caches)
        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate)

下面来看mini-batch gradient descent 和 stochastic gradient descent 在下降时的对比图：

下面是mini-batch gradient descent的代价函数随着迭代次数的变化图：

从图中能够看出，mini-batch gradient descent 相对SGD在下降的时候，相对平滑些（相对稳定），不像SGD那样震荡的比较厉害。mini-batch gradient descent的一个缺点是增加了一个超参数 batch_sizebatch_size ，要去调这个超参数。

以上博文借鉴与：
随机梯度下降（Stochastic gradient descent）和 批量梯度下降（Batch gradient descent ）的公式对比、实现对比.
几种梯度下降方法对比（Batch gradient descent、Mini-batch gradient descent 和 stochastic gradient descent）.