求解函数依赖是否保持中的投影算法

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前言

在学习数据库时，我们总会遇到求解一个分解是否满足函数依赖是否保持，在求解投影时常常利用传递函数依赖来求解，但是经常会有遗漏，本文总结了一种求解投影的算法供大家参考。

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考，如有问题可在评论区反馈

设有关系模式$R=(A,B,C,D,E,F)$
R的函数依赖集$F=\{A\to BCF,CD\to E,B\to D,BE\to F,EF\to A\}$
判断分解$\rho =\{R_1(A,B,C,D),R_2(A,E,F)\}$是否具有函数依赖性

一、第一步求F在每个分解上的投影

$F_1=\prod u_1(F)=\{A\to BCD,B\to D,BC\to A\}$
$F_2=\prod u_2(F)=\{A\to EF,EF\to A\}$
这个投影是如何求解的呢？
下面给出求解投影的算法

1.求F1

$R_1(A,B,C,D)$

• 第一步：求$R_1$中每个属性在$F$上的闭包
  $(A{)}^{+}=ABCDEF,(B{)}^{+}=BD,(C{)}^{+}=C,(D{)}^{+}=D$
  将满足条件的依赖加入$F_1$，则有$\{A\to BCD,B\to D\}$
  [注]:满足条件的依赖指右边推出的属性在$R_1$中。
  若有属性的闭包包含$R_1$中所有的属性则不参与下一步，因为$ABCD\subset (A{)}^{+}$所以$A$不参加下一步。

• 第二步：从不满足闭包包含$R_1$所有属性的属性集$\{B,C,D\}$中选择两个求闭包
  $(BC{)}^{+}=BCADEF,(BD{)}^{+}=BD,(CD{)}^{+}=CDE$
  将满足条件的依赖加入$F_1$，则有$\{BC\to A\}$
  [注]:由于$B\to D$所以$BC\to D$就不需要了。
  若有属性集的闭包包含$R_1$中所有属性则不参与下一步，因为$ABCD\subset (BC{)}^{+}$所以$BC$不参加下一步

• 第三步：从不满足闭包包含$R_1$所有属性的属性集$\{D\}$，选择三个属性求闭包，这时属性不足三个，算法终止，输出$F_1=\{A\to BCD,B\to D,BC\to A\}$

2.求F2

$R_2(A,E,F)$

• 第一步：求$R_2$中每个属性在$F$上的闭包
  $(A{)}^{+}=ABCDEF,(E{)}^{+}=E,(F{)}^{+}=F$
  将满足条件的依赖加入$F_2$，则有$\{A\to EF\}$
  若有属性的闭包包含$R_2$中所有的属性则不参与下一步,因为$AEF\subset (A{)}^{+}$所以$A$不参加下一步

• 第二步：从不满足闭包包含$R_2$所有属性的属性集$\{E,F\}$中选择两个求闭包
  $(EF{)}^{+}=AEF$
  将满足条件的依赖加入$F_2$，则有$\{EF\to A\}$
  若有属性的闭包包含$R_2$中所有的属性则不参与下一步,因为$AEF\subset (EF{)}^{+}$所以$EF$不参加下一步

• 第三步：从不满足闭包包含$R_2$所有属性的属性集{}中选择三个求闭包，这时属性不足三个，算法终止。
  输出$F_2=\{A\to EF,EF\to A\}$

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二、看F+是否等价于G+

$G=F_1\cup F_2=\{A\to BCDEF,B\to D,BC\to AD,EF\to A\}$
由于$G$中的每个依赖关系都是$F$投影出来的，所以$G^{+}$⊂$F^{+}$
所以要看$G^{+}=F^{+}$ 只要考察$F^{+}\subset G^{+}$
考察$F$中每个属性
1、$A\to B\in G^{+}$
2、$A\to C\in G^{+}$
3、$A\to F\in G^{+}$
4、$CD\to E,CD$在$G$上的闭包$(CD{)}^{+}=CD,E$不属于$(CD{)}^{+}$
∴$CD\to E$ 不属于$G^{+}$
∴$G^{+}\ne F^{+}$
∴该分解不具有函数依赖保持性