K-均值算法的原理与实战

K-均值（K-means）算法是一种常用的聚类算法。

  当我们需要对未标记的数据划分类别时，往往用到的算法是聚类（clustering）。聚类是一种无监督的学习，它试图将数据集中的样本划分为若干个通常是不相交的子集，每个子集称为一个“簇”（cluster）；相似的样本归到一个簇中，不相似的样本分到不同的簇中。
  K-均值（K-means）算法是一种聚类算法，k 是用户指定的簇个数，每个簇通过其质心（centroid），即簇中所有点的中心来描述。

算法原理

  给定样本集 $D$ = {$x_1,x_2,...,x_m$}，$k$ 均值算法将样本集$D$划分为$k$个互不相交的簇$C$ = {$C_1,C_2,...,C_k$}，划分的依据是样本的相似度，相似的样本会归入同一簇，不相似的样本会归入不同簇。
  相似度的计算方法有多种，常见的有曼哈顿距离，欧几里得距离，余弦相似度等。$k$ 均值算法使用的是欧几里得距离（Euclidean Distance），即两点间的真实距离。给定样本 $x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{in})$ 与 $x_j=(x_{j1},x_{j2},...,x_{jn})$，计算样本间的欧几里得距离的公式如下：
$$dis{t}_{ed}(x_i,x_j)=||x_i-x_j|{|}_2=\sqrt{\sum _{u=1}^n{|x_{iu}-x_{ju}|}^2}$$

  $k$ 均值算法的流程是这样的。第一步，从数据集中随机选择$k$个点作为簇质心。第二步，将样本集中的每个点分配到一个簇中，具体来讲，为每个点找距其最近的质心，并将其分配给该质心所对应的簇。第三步，每个簇的质心更新为该簇所有点的平均值。重复上述步骤二与步骤三，直到所有的簇不再发生变化。该过程的伪代码表示如下：

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输入： 样本集 $D$ = {$x_1,x_2,...,x_n$};
       聚类簇数 $k$
过程：

1. 从$D$中随机选择$k$个样本作为初始均值向量{$u_1,u_2,...,u_k$}
2. repeat
3.   令$C_i=\varnothing (1\le i\le k)$
4.   for $j=1,2,...,m$ do
5.     计算样本$x_i$与各均值向量$u_i$($1\le i\le k)$的距离：$d_{ji}=||x_j-u_i|{|}_2$；
6.     根据距离最近的均值向量确定$x_i$的簇标记：${\lambda }_i=argmi{n}_{i\in \{1,2,...,k\}}{d}_{ji}$;
7.     将样本$x_j$划入相应的簇：$C_{{\lambda }_j}\bigcup \{x_j\}$；
8.   end for
9.   for $i=1,2,...,k$ do
10.     计算新均值向量：$u_i^{{}^{\prime }}=\frac{1}{|C_i|}{\sum }_{x\in C_i}x$；
11.     if $u_i^{{}^{\prime }}\ne u_i$ then
12.       将当前均值向量$u_i$更新为$u_i^{{}^{\prime }}$
13.     else
14.       保持当前均值向量不变
15.     end if
16.   end for
17. until 所有样本的簇标记均未更新

输出： 簇划分$C=\{C_1,C_2,...,C_k\}$

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  簇划分完成后，如何评价聚类效果的好与坏呢？一种用于度量聚类效果的指标是SSE(Sum of Squared Error，误差平方和），SSE值越小表示数据点越接近于它们的质心，聚类效果也越好。
$$SSE=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}||x-u_i|{|}_2^2$$

其中$u_i=\frac{1}{|C_i|}{\sum }_{x\in C_i}x$ 是簇$C_i$的均值向量。该式在一定程度上刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，$SSE$值越小则簇内样本相似度越高。

编程实战

  首先从百度网盘下载测试数据集，下载链接：https://pan.baidu.com/s/1wShFlsq36Fez5-Qh10Jpog ，提取码：ltaw。然后在Jupyter Notebook中运行以下代码。

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
#文本文件导入矩阵
def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t') #当前行切割为列表
        fltLine = list(map(float,curLine)) #转换元素的数据类型为float
        dataMat.append(fltLine)
    return np.mat(dataMat)

#计算两个向量的欧氏距离
def distED(vecA, vecB):
    return np.sqrt(np.sum(np.power(vecA - vecB, 2))) 

#构建k个初始簇质心
def randCent(dataSet, k):
    m = np.shape(dataSet)[0] #总样本数
    centIdx = set()   #随机样本索引
    while len(centIdx) < k:
        randj = np.random.randint(m)
        centIdx.add(randj)
    centroids = dataSet[list(centIdx)] #初始簇质心
    return centroids

#K-均值聚类方法
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distED, createCent=randCent):
    m = np.shape(dataSet)[0]  #样本总数
    clusterAssment=np.mat(np.zeros((m,2))) #簇分配结果矩阵
    centroids=createCent(dataSet,k) #构建k个初始随机质心
    clusterChanged=True  #簇变化标志
    while clusterChanged:  #直到簇不再变化
        clusterChanged=False
        for i in range(m): #遍历所有样本点
            minDist=np.inf  #样本点离最近质心的距离
            minIndex=-1  #样本的簇标记
            for j in range(k): #遍历所有的质心
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:]) #样本点I到质心J的距离
                if distJI < minDist:
                    minDist=distJI
                    minIndex=j 
            if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True  #样本点的簇标记发生变化
            clusterAssment[i,:]= minIndex,minDist**2  #簇分配结果矩阵的两列分别为簇标记和误差
        for cent in range(k): #更新质心的位置
            ptsInClust = dataSet[np.nonzero(clusterAssment[:,0].A == cent)[0]] #给定簇下的所有样本点
            centroids[cent,:] = np.mean(ptsInClust, axis=0) #axis=0表示沿列方向计算均值
    return centroids,clusterAssment

#绘制所有样本点与质心
def drawPic(dataMat,centroids,clusterAssment):
    type1_x=[];type1_y=[];type2_x=[];type2_y=[];type3_x=[];type3_y=[];type4_x=[];type4_y=[]
    for i in range(dataMat.shape[0]):
        if clusterAssment[i,0]==0:
            type1_x.append(dataMat[i,0])
            type1_y.append(dataMat[i,1])
        elif clusterAssment[i,0]==1:
            type2_x.append(dataMat[i,0])
            type2_y.append(dataMat[i,1])
        elif clusterAssment[i,0]==2:
            type3_x.append(dataMat[i,0])
            type3_y.append(dataMat[i,1])
        elif clusterAssment[i,0]==3:
            type4_x.append(dataMat[i,0])
            type4_y.append(dataMat[i,1])
    cent_x=centroids[:,0].T.tolist()[0]
    cent_y=centroids[:,1].T.tolist()[0]
    p1 = plt.scatter(type1_x,type1_y,s=30,marker='x')
    p2 = plt.scatter(type2_x,type2_y,s=30,marker='x')
    p3 = plt.scatter(type3_x,type3_y,s=30,marker='x')
    p4 = plt.scatter(type4_x,type4_y,s=30,marker='x')
    cent = plt.scatter(cent_x,cent_y,s=200,marker='o')
    plt.legend(["p1","p2","p3",'p4','cent'],bbox_to_anchor=(1, 1))
    plt.show()

#加载数据集
dataMat=loadDataSet('kMeansTestSet.txt') 
#生成聚类结果（簇质心和簇分配结果）
myCentroids, myClusterAssment = kMeans(dataMat, 4) 
#绘制聚类结果图
drawPic(dataMat, myCentroids, myClusterAssment) 

  最终的聚类结果图如下，其中p1-p4为划分为4种类别的簇，cent为簇质心。

结语

  聚类是一种无监督学习方法。所谓无监督学习是指事先并不知道要寻找的内容，即没有目标变量。聚类试图做到“物以类聚”，即将相似数据点归于同一簇，而不相似数据点归于不同簇。聚类中相似的概念取决于所选择的相似度计算方法。
  一种广泛使用的聚类算法是K-均值算法，其中k是用户指定的要创建的簇的数目。K-均值算法以$k$个随机质心开始。算法会计算每个点到质心的距离，每个点会被分配到距其最近的簇质心。然后基于新分配到簇的点更新簇质心。以上过程重复数次，直到簇质心不再改变。
  K-均值算法非常简单有效，但是也容易受到初始簇质心的影响。算法只是收敛到局部最小值，而非全局最小值。一种聚类效果的评估指标是SSE，值越小表示数据点越接近质心，聚类效果也越好。其中一种比较笨的解决办法是，通过多次执行该算法，选择SSE值最小的那一个。
  为了克服K-均值算法只收敛到局部最小值的问题，下篇文章将会讲解聚类效果更好的二分K-均值（bisecting K-means）算法。