【C++】Eigen 库中旋转向量、旋转矩阵、欧拉角、四元数的定义及互相转换

参考：

1. https://blog.csdn.net/u011092188/article/details/77430988
2. https://www.cnblogs.com/lovebay/p/11215028.html

Eigen: C++开源矩阵计算工具

一、Eigen中表述刚体运动的简单用法

Eigen库是一个开源的C++线性代数库，它提供了快速的有关矩阵的线性代数运算，还包括解方程等功能。Eigen是一个用纯头文件搭建起来的库，这意味这你只要能找到它的头文件，就能使用它。Eigen头文件的默认位置是“/usr/include/eigen3”.

由于Eigen库相较于OpenCV中的Mat等库而言更加高效，许多上层的软件库也使用Eigen进行矩阵运算，比如SLAM中常用的g2o,Sophus等。此外Eigen库还被被用于Caffe，Tensorflow等许多深度学习相关的框架中。

刚体运动中的旋转通常可以由旋转矩阵，旋转向量和四元数等多种方式表示（具体的转换公式请参见这篇博客），在Eigen库中也有其对应的实现。本文主要介绍刚体运动时旋转矩阵，旋转向量和四元数的初始化以及相互转换在Eigen中的实现方式。

Eigen库中各种形式的表示如下：

旋转矩阵（3X3）:Eigen::Matrix3d
旋转向量（3X1）:Eigen::AngleAxisd
四元数（4X1）:Eigen::Quaterniond
平移向量（3X1）:Eigen::Vector3d
变换矩阵（4X4）:Eigen::Isometry3d

以下是具体的实现代码eigen_geometry.cpp：

#include 
#include 


using namespace std;
using namespace Eigen;

int main(int argc, char **argv) {

    //下面三个变量作为下面演示的中间变量

    AngleAxisd t_V(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));
    Matrix3d t_R = t_V.matrix();
    Quaterniond t_Q(t_V);

    //对旋转向量（轴角）赋值的三大种方法

    //1.使用旋转的角度和旋转轴向量（此向量为单位向量）来初始化角轴
    AngleAxisd V1(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));//以（0,0,1）为旋转轴，旋转45度
    cout << "Rotation_vector1" << endl << V1.matrix() << endl;

    //2.使用旋转矩阵转旋转向量的方式

    //2.1 使用旋转向量的fromRotationMatrix()函数来对旋转向量赋值（注意此方法为旋转向量独有,四元数没有）
    AngleAxisd V2;
    V2.fromRotationMatrix(t_R);
    cout << "Rotation_vector2" << endl << V2.matrix() << endl;

    //2.2 直接使用旋转矩阵来对旋转向量赋值
    AngleAxisd V3;
    V3 = t_R;
    cout << "Rotation_vector3" << endl << V3.matrix() << endl;

    //2.3 使用旋转矩阵来对旋转向量进行初始化
    AngleAxisd V4(t_R);
    cout << "Rotation_vector4" << endl << V4.matrix() << endl;

    //3. 使用四元数来对旋转向量进行赋值

    //3.1 直接使用四元数来对旋转向量赋值
    AngleAxisd V5;
    V5 = t_Q;
    cout << "Rotation_vector5" << endl << V5.matrix() << endl;

    //3.2 使用四元数来对旋转向量进行初始化
    AngleAxisd V6(t_Q);
    cout << "Rotation_vector6" << endl << V6.matrix() << endl;

//------------------------------------------------------

    //对四元数赋值的三大种方法（注意Eigen库中的四元数前三维是虚部,最后一维是实部）

    //1.使用旋转的角度和旋转轴向量（此向量为单位向量）来初始化四元数,即使用q=[cos(A/2),n_x*sin(A/2),n_y*sin(A/2),n_z*sin(A/2)]
    Quaterniond Q1(cos((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 1 * sin((M_PI / 4) / 2));//以（0,0,1）为旋转轴，旋转45度
    
    //第一种输出四元数的方式
    cout << "Quaternion1" << endl << Q1.coeffs() << endl;

    //第二种输出四元数的方式
    cout << Q1.x() << endl << endl;
    cout << Q1.y() << endl << endl;
    cout << Q1.z() << endl << endl;
    cout << Q1.w() << endl << endl;

    //2. 使用旋转矩阵转四元數的方式

    //2.1 直接使用旋转矩阵来对旋转向量赋值
    Quaterniond Q2;
    Q2 = t_R;
    cout << "Quaternion2" << endl << Q2.coeffs() << endl;

    //2.2 使用旋转矩阵来对四元數进行初始化
    Quaterniond Q3(t_R);
    cout << "Quaternion3" << endl << Q3.coeffs() << endl;

    //3. 使用旋转向量对四元数来进行赋值

    //3.1 直接使用旋转向量对四元数来赋值
    Quaterniond Q4;
    Q4 = t_V;
    cout << "Quaternion4" << endl << Q4.coeffs() << endl;

    //3.2 使用旋转向量来对四元数进行初始化
    Quaterniond Q5(t_V);
    cout << "Quaternion5" << endl << Q5.coeffs() << endl;

//----------------------------------------------------

    //对旋转矩阵赋值的三大种方法

    //1.使用旋转矩阵的函数来初始化旋转矩阵
    Matrix3d R1=Matrix3d::Identity();
    cout << "Rotation_matrix1" << endl << R1 << endl;

    //2. 使用旋转向量转旋转矩阵来对旋转矩阵赋值

    //2.1 使用旋转向量的成员函数matrix()来对旋转矩阵赋值
    Matrix3d R2;
    R2 = t_V.matrix();
    cout << "Rotation_matrix2" << endl << R2 << endl;

    //2.2 使用旋转向量的成员函数toRotationMatrix()来对旋转矩阵赋值
    Matrix3d R3;
    R3 = t_V.toRotationMatrix();
    cout << "Rotation_matrix3" << endl << R3 << endl;

    //3. 使用四元数转旋转矩阵来对旋转矩阵赋值

    //3.1 使用四元数的成员函数matrix()来对旋转矩阵赋值
    Matrix3d R4;
    R4 = t_Q.matrix();
    cout << "Rotation_matrix4" << endl << R4 << endl;

    //3.2 使用四元数的成员函数toRotationMatrix()来对旋转矩阵赋值
    Matrix3d R5;
    R5 = t_Q.toRotationMatrix();
    cout << "Rotation_matrix5" << endl << R5 << endl;

    return 0;
}

上述代码对应的CMakeLists.txt为：

CMAKE_MINIMUM_REQUIRED(VERSION 2.8)
project(useGeometry)
include_directories("/usr/include/eigen3")
add_executable(eigen_geometry eigen_geometry.cpp)

二、eigen中四元数、欧拉角、旋转矩阵、旋转向量转换总结：

一、旋转向量

1.0 初始化旋转向量：旋转角为alpha，旋转轴为(x,y,z)

Eigen::AngleAxisd rotation_vector(alpha,Vector3d(x,y,z))

1.1 旋转向量转旋转矩阵

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=rotation_vector.matrix();

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=rotation_vector.toRotationMatrix();

1.2 旋转向量转欧拉角(Z-Y-X，即RPY)

Eigen::Vector3d eulerAngle=rotation_vector.matrix().eulerAngles(2,1,0);

1.3 旋转向量转四元数

Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_vector);

Eigen::Quaterniond quaternion;Quaterniond quaternion;

Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=rotation_vector;


二、旋转矩阵

2.0 初始化旋转矩阵

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix<<x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22;

2.1 旋转矩阵转旋转向量

Eigen::AngleAxisd rotation_vector(rotation_matrix);


Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=rotation_matrix;

Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector.fromRotationMatrix(rotation_matrix);

2.2 旋转矩阵转欧拉角(Z-Y-X，即RPY)

Eigen::Vector3d eulerAngle=rotation_matrix.eulerAngles(2,1,0);

2.3 旋转矩阵转四元数

Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);

Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=rotation_matrix;


三、欧拉角

3.0 初始化欧拉角(Z-Y-X，即RPY)

Eigen::Vector3d eulerAngle(yaw,pitch,roll);

3.1 欧拉角转旋转向量

Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ())); Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;

3.2 欧拉角转旋转矩阵

Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ())); Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;

3.3 欧拉角转四元数

Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ())); Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;


四、四元数

4.0 初始化四元数

Eigen::Quaterniond quaternion(w,x,y,z);

4.1 四元数转旋转向量

Eigen::AngleAxisd rotation_vector(quaternion);

Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=quaternion;

4.2 四元数转旋转矩阵

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=quaternion.matrix();

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=quaternion.toRotationMatrix();

4.4 四元数转欧拉角(Z-Y-X，即RPY)

Eigen::Vector3d eulerAngle=quaternion.matrix().eulerAngles(2,1,0);

小结：

1. 旋转矩阵（R），旋转向量（V）和四元数（Q）在Eigen中转换关系：
   
2. 旋转矩阵（R），旋转向量（V）和四元数（Q）分别通过自身初始化自己的方式，也就是第一部分代码对旋转矩阵（R），旋转向量（V）和四元数（Q）赋值的第一种方式：

（1）R通过自身初始化的方法：

//1.使用旋转矩阵的函数来初始化旋转矩阵
Matrix3d R1=Matrix3d::Identity();
cout << "Rotation_matrix1" << endl << R1 << endl;

（2）V通过自身初始化的方法：

//1.使用旋转的角度和旋转轴向量（此向量为单位向量）来初始化角轴
AngleAxisd V1(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));//以（0,0,1）为旋转轴，旋转45度

cout << "Rotation_vector1" << endl << V1.matrix() << endl;

（3）Q通过自身初始化的方法：

//1.使用旋转的角度和旋转轴向量（此向量为单位向量）来初始化四元数,即使用q=[cos(A/2),n_x*sin(A/2),n_y*sin(A/2),n_z*sin(A/2)]

Quaterniond Q1(cos((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 1 * sin((M_PI / 4) / 2));//以（0,0,1）为旋转轴，旋转45度

cout << "Quaternion1" << endl << Q1.coeffs() << endl;

拓展：

1. C++矩阵库 Eigen 快速入门
2. Eigen: C++开源矩阵计算工具——Eigen的简单用法