相机小孔成像模型（逐步推导详解）

先搞清楚为什么可以简化成小孔成像模型

相机小孔成像模型推导

原则：先简单后复杂，先理想后实际

[理想情况，相机无畸变]

一、明确四个坐标系：这个是推导的前提！

说明：
1、图像坐标系的坐标原点是成像平面的中心，相机坐标系原点设在光心处，空间中任意一点P可以用相机坐标系和世界坐标系表示。
2、相机坐标系原点和图像坐标系原点之间的距离可以用焦距 f 简化
3、标定的时候世界坐标系XY平面是标定板上表面，即Z=0的平面

二、坐标系转换：目标是推导出像素坐标系和世界坐标系的关系。

① 世界坐标系→相机坐标系
两个坐标系变换在空间上体现的是旋转加平移
表达成齐次坐标原因：https://blog.csdn.net/wangmj_hdu/article/details/119143771

② 相机坐标系→图像坐标系
根据小孔成像模型进行推导：

如图，空间点投影到XZ平面，根据相似三角形，可以得到以下等式：

同理y轴坐标 所以图像坐标系和相机坐标系转换关系： 统一成齐次坐标表达：

③ 图像坐标系→像素坐标系
图像坐标系的单位和像素坐标系的单位不同，所以转换需要进行缩放α，同时两个坐标系的位置也不同，需要进行平移

相应的坐标系转换：

同样，用齐次坐标表达成：

最后，大一统！
世界坐标系转换到像素坐标系：

统一成齐次坐标的优势就体现出来了，等式右边前两项可以合成一个矩阵，也就是相机内参矩阵A

标定就是把内参确定了，一个标定板设置一个世界坐标系，相应着对应一个外参RT矩阵
从公式可以看出，想要计算空间中一点坐标，需要像素坐标以及尺度因子Zc，单相机无法计算出三维点坐标！

[实际情况，相机存在安装误差以及畸变]

参考大佬：相机标定之张正友标定法数学原理详解（含python源码）