空间解析几何 | 向量、数量积、向量积、混合积、距离公式

一、向量及其运算

1、空间直角坐标系

2、向量及其有关概念

3、坐标表示向量

 

4、向量长度与方向余弦

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二、向量的数量积、向量积和混合积

2.1 数量积（点积、内积）

 注：

　　　　通过公式我们可以发现，两个向量的数量积就是一个数量。

　　　　数量积又称为点积或者内积。

　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

 　　　　  　α • β = (a1i + a2j + a3k) • (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3

　　　　　   即两向量的数量积之和等于它们对应坐标的乘积之和。

 

 

 2.2 向量积（叉积、外积）

 注：

         　向量积是一个向量，

　　　  向量积又称为叉积和外积。

 　　　 ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

　　　　　α χ β = (a1i + a2j + a3k) χ (b1i + b2j + b3k)

　　　　　　　   = (a2b3 - a3b2) i - (a1b3 - a3b1) j + (a1b2 - a2b1) k

 

 注：

 

 2.3 向量的混合积

注：

   向量α 与 β 的向量积，再与向量 γ 作数量积，其结果为一个数量

（空间向量基本定理）任意给定空间中三个不共面向量 α, β, γ，则空间中任一

　　　　　　向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一线性表示，即存在唯一一组实数 x, y, z 使

　　　　　　　　ν = xα + yβ + zγ

 

 

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三、距离公式