微分方程类型总结

微分方程基本概念

阶：微分方程中所出现的因变量的最高阶导数

能使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解

含任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解叫做微分方程的通解

确定了通解中任意常数的解是微分方程的特解

积分曲线：微分方程解的图形曲线

 第一类：可分离变量的微分方程

形式：

对称形式： 

分离变量后：

解法：

分离变量后对两端求积分得到微分方程的解

 

第二类：齐次方程 

形式：

解法：

设,则

进行可分离变量后再对等式两端积分求得关于u的函数

最后将带入上述函数得到微分方程的解

可化为齐次的方程

形式：

解法：令

转化为

第一种情况：可以直接求出k和h

第二种情况：此时

令，则

接下来进行可分离变量

第三类：一阶线性微分方程

形式：

若,则方程为齐次的；若,则方程为非齐次的

解法：

齐次方程按可分离变量来做;

非齐次方程的通解为

注意 ：前三类微分方程均为一阶微分方程

第四类：可降解的高阶微分方程

一、型

解法：

直接对等式两边进行积分求解

二、型

此类微分方程中无y

解法：

令,则

带入微分方程中后进行可分离变量求解

三、型

此类微分方程中无x

解法：

令,则

带入微分方程中后进行可分离变量求解

注意：二和三解法中y的二阶导数形式的区别

第五类：常系数齐次线性微分方程 

形式：

解法：

写出微分方程的特征方程

求出特征方程的两个根

根据特征方程根的情况写出微分方程的通解

两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根

第六类：常系数非齐次线性微分方程 

形式：

解的构成形式：齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解

齐次方程的通解已经在第五类中求解出来，接下来只需找出非齐次方程的特解

一、型

特解形式：

若不是齐次方程对应特征方程的根，k取0；若是对应特征方程的s重根，则k取s

二、型

特解形式：

若或不是对应特征方程的根，k取0；反之若为对应特征方程的单根，则k取1

解法：

在已给定的微分方程中找到特解中需要的参数，然后将特解带入微分方程中解出m次多项式中的系数

第七类：混合类型 

譬如：一类的微分方程，我们发现它和前面的任何一类微分方程都匹配不上

解法：

将这个微分方程变形为,现在我们发现（1）和（2）式均是第六类微分方程，我们可以分别求出（1）和（2）式的特解，然后根据线性微分方程解的叠加原理求得原微分方程对应的特解。

对于我们现阶段能够算出来的微分方程就是以上所列举的类型，求解微分方程的过程中最大的绊脚石往往不是不清楚微分方程的类型，而是找准类型之后面对复杂的积分运算望而却步，这往往是大多数读者求解微分方程最大的困难。

所以，前面学习的求导和不定积分的知识就十分重要，另外强大的计算能力和细致的观察能力对于求解微分方程也发挥着很重要的作用。

当然，以上所列举的微分方程都是最简单的类型，我们可以把结果推广到更高阶的微分方程，但是面对更高阶和更复杂的微分方程就要借助计算机编程来求出微分方程的解。