信息论与编码2 期末复习-码的基础理论

这个学期讲的是编码部分，主要就是线性码、汉明码、循环码、BCH码这四个环节

码的基础理论

定义、码率、Hamming距离

定义5.1 设A是一个有限集合，称之为字母表。A中元素的有限序列称为字或串。一-个字中元素的个数称为字长。

定义5.2 设A是一个字母表。A上的所有字的集合记为A*。A中包含一个长度为0的特殊字，称之为空字，记为ξ。对A中的任意两字x和y，将y排在x的后面得到xy，xy显然还是A中的一个字。这样，我们就定义了A中的一种运算,称之为字的联接运算。显然，在联接运算下，A*构成一个带幺半群，单位元为ξ。

码率

一个q元(n, M)码的码率定义为

一个好码应该具有较大的码率

hamming距离

定义5.6设x,y∈V(n,q).x和y的Hamming距离d(x, y)定义为x和y中不同分量的个数。设x=X1 X2 X3…Xn，y=y1 y2 y3 …yn 对于i=1,2,3…n。定义

例题：

解：因为x和y的前四位均不同，所以汉明距离为4

汉明重量

表示的是非零分量的个数

码的最小重量

最小重量为，C中所有非零码字的最小重量

最近邻译码原则

设x是一个码字，经过信道传输后，在接收端我们收到的向量为y。由于噪声的干扰，可能y！= x，并且可能y不是一个码字。将y译为与y的Hamming距离最小的码字x’是合理的。这种译码策略称为最近邻译码。

二元对称信道的最近邻译码也就是最大似然译码。

检错和纠错能力

设C是一个(n,M)码。码C的最小距离定义为C中的任意两个不同码字的Hamming距离的最小值，记为d (c）。d( c)= min{d(x,y)|x,y∈C,x！= y}

我们用 (n, M,d)表示码长为n，码字个数为M，最小距离为d的码

检错: 码C至多可检查t个错误的充分必要条件是d( C)= t+ 1

纠错： 码C至多可纠正t个错误的充分必要条件为d( C)=2t+1或2t+2

推论： C是一个码，其最小距离为d。则码C可以至多检查d-1个错误，至多纠正d’个错误，d’ 表示不大于(d-1)/2的最大整数。

证明：课本P253

码的等价变换

一个q元(n,M)码可以排成一一个M x n阶矩阵，其每一行是一个码字

第一种变换是将矩阵中的列进行重新排列
第二种变换对应于将矩阵中某一固定列中的字符进行置换

不难看出,在上述两种置换运算下,码字之间的Hamming距离保持不变;两个等价的码C和C’有相同的参数(n,M,d)， 他们可以检查和纠正相同数目的错误。

这里不是很明白，等价变换和后面的，有一般生成矩阵变成标准生成矩阵，之间有什么关联。

研究不明白等我再跟别人商讨商讨