傅里叶级数和傅里叶变换超详细推导（DR_CAN）

本文是在学习了DR_CAN老师的傅里叶变换讲解之后，根据自己的笔记整理得到的推导过程，记录下来。DR_CAN老师的课程链接在此：傅里叶变换——DR_CAN

Part I 三角函数的正交性

三角函数是具有正交性的。
三角函数的集合包括：

其中0可以视为 $cos0x$，1可以视为 $sin0x$
在其中取任何两项积分，当n不等于m 时，结果必为0，即：

或者：

上述视为三角函数的正交性。
而当m=n时，举例：

Part Ⅱ周期为2$\pi$的 f(x)的傅里叶展开

的傅里叶展开为：

或者：

（教科书上经常采用的）
其实二者是相同的，把式(1.1)展开第一项得到：

现在看到(1.2)和(1.3)的第一项还是不同的。
首先确定a0的表达形式，对 f(x)进行积分：

上式利用三角函数的正交性，得到了a0 的表达式：

当写成$\frac{a_0}{2}$时，$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$，此时(1.2)和(1.3)便可以表示成一样了。接下来的推导中，我们沿用教科书上的表达，即(1.3)。
其次我们确定 an的表达形式，对f(x)进行如下积分：

依据三角函数的正交性，可以得到上式的形式。当m=n 时的三角函数仍然属于不同的，根据三角函数的正交可知结果为0。
对于式(1.5)，当m=n 时，
，则 an可以表示为：

类似地，可以确定bn的表达式：

对于式(1.7)，当m=n 时，
，则

至此，我们可以对一个周期为$2\pi$ 的函数 进行傅里叶展开，其形式为：

其中：

Part Ⅲ 周期为“2L”的函数展开为傅里叶级数

假设存在一函数满足：，利用换元法，令
，则
此时存在如下关系：

可以令：
，显然此时
。按照Part Ⅱ中的结论，可以将g(x) 展开成为：

其中a0 、 bn、an, 如PartⅡ中所示。
令 ，代入到 g(x)中去，得到：

则：

其中：

至此，我们便得到了周期为“2L”的函数展开的傅里叶级数的表达方式。
而在工程中是没有复数的，令

则 ，且：

其中：

Part Ⅳ 傅里叶级数的复数形式

在这里我们运用到相当具有影响力的欧拉公式：

将欧拉公式中关于正余弦的表示代入到(1.11)中，我们可以得到：

其中：

由Part Ⅲ中的系数表达式知：

上述 $C_n$的表示能用下列公式概述：

(1.12)和(1.13)式称为傅里叶级数的复指数表达形式。

Part Ⅴ 傅里叶变换

终于我们讲到了傅里叶变换。
前文我们讲到了傅里叶级数的复指数形式，形式重申如下。

我们可以将 f(t)这个函数认为是一种规则，其中的 $C_n$ 才是真正定义了函数的那一部分。
上文我们讲的都是有周期的函数，假如这个周期为无穷，那么我们就得到了非周期的傅里叶级数，也就是傅里叶变换。在周期变为无穷时，存在下列一系列推导：

其中，前文中的 w现在写作w0 用以区分周期与非周期的函数， $\Delta w$表示两个频率之间的距离。这表明前文中离散的过程则变为了连续的过程（需要认真理解）。
那么：

令：

则：

即得到了傅里叶变换(1.15)和傅里叶变换的逆变换(1.16)的表达式。
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