线性代数笔记：基本概念

线性代数笔记

机器学习中线性代数是很重要的基础内容，很多工作多年的码农把数学忘得一干二净了，为了学习机器学习又重新捡起来，本系列文章重点对机器学习中的线性代数做个简单的归纳总结，使学习起来有针对性。

标量(scalar)

一个标量就是一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。当我们介绍标量时，会明确它们是哪种类型的数。比如，在定义实数标量时，我们可能会说 ‘‘令 s ∈ R 表示一条线的斜率’’；在定义自然数标量时，我们可能会说 ‘‘令 n ∈ N 表示元素的数目’’。

向量(vector)

一个向量是一列数。这些数是有序排列的。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如 x。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量 x 的第一个元素是 x1，第二个元素是 x2，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如
果每个元素都属于 R，并且该向量有 n 个元素，那么该向量属于实数集 R 的 n 次笛卡尔乘积构成的集合，记为 Rn。当需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵列：

我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同坐标轴上的坐标。
有时我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些
元素索引的集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定 x1， x3 和 x6，我们定
义集合 S = {1, 3, 6}，然后写作 xS。我们用符号－表示集合的补集中的索引。
比如 x−1 表示 x 中除 x1 外的所有元素， x−S 表示 x 中除 x1， x3， x6 外所有元
素构成的向量。

矩阵(matrix)

矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引（而非一个）所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如 A。如果一个实数矩阵高度为 m，宽度为 n，那么我们说 A∈ Rm×n。我们在表示矩阵中的元素时，通常以不加粗的斜体形式使用其名称， 索引用逗号间隔。比如， A1,1表示 A 左上的元素， Am,n 表示 A 右下的元素。我们通过用 “:’’ 表示水平坐
标，以表示垂直坐标 i 中的所有元素。比如， Ai,: 表示 A 中垂直坐标 i 上的一横排元素。这也被称为 A 的第 i 行（row）。同样地， A:,i 表示 A 的第 i 列（column）。当我们需要明确表示矩阵中的元素时，我们将它们写在用方括号括起来的数组中：

有时我们需要矩阵值表达式的索引，而不是单个元素。在这种情况下，我们在
表达式后面接下标，但不必将矩阵的变量名称小写化。比如， f(A)i,j 表示函数
f 作用在 A 上输出的矩阵的第 i 行第 j 列元素。

张量(tensor)

在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一
个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们称之为张量。我们使用
字体 A 来表示张量 “A’’。张量 A 中坐标为 (i, j, k) 的元素记作 Ai,j,k。

转置(transpose)

转置是矩阵的重要操作之一。矩阵的转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为 主对角线（main diagonal）。下图显示了这个操作。我们将矩阵 A 的转置表示为 A^T，定义如下

向量可以看作只有一列的矩阵。对应地，向量的转置可以看作是只有一行的矩阵。有时，我们通过将向量元素作为行矩阵写在文本行中，然后使用转置操作将其变为标准的列向量，来定义一个向量，比如 x = [x1, x2, x3]^T.标量可以看作是只有一个元素的矩阵。因此，标量的转置等于它本身 a = a^T。

只要矩阵的形状一样，我们可以把两个矩阵相加。两个矩阵相加是指对应位置
的元素相加，比如 C = A + B，其中 Ci,j = Ai,j + Bi,j。标量和矩阵相乘，或是和矩阵相加时，我们只需将其与矩阵的每个元素相乘或相加，比如 D = a · B + c，其中 Di,j = a · Bi,j + c。
在深度学习中，我们也使用一些不那么常规的符号。我们允许矩阵和向量相加，产生另一个矩阵： C = A + b，其中 Ci,j = Ai,j + bj。换言之，向量 b 和矩阵A 的每一行相加。这个简写方法使我们无需在加法操作前定义一个将向量 b 复制到每一行而生成的矩阵。这种隐式地复制向量 b 到很多位置的方式，被称为 广播（broadcasting）。