用python的scipy中的odeint来解常微分方程中的一些细节问题（适用于小白）

用python的scipy中的odeint来解常微分方程中的一些细节问题（适用于小白）

写在前面

最近有些需要解决常微分方程的问题，网上查了很多教程都不是很明晰，便自己研究了一段时间，写一点小白初次接触这个方法应该如何理解，有哪些需要注意的点。
odeint在官网的参数很多，如下所示：

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, 
mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, 
mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)

我们这次简单点只使用前三个参数scipy.integrate.odeint(func, y0, t)，如果想了解更多，其他教程应该有更详细的教学，这里只说一点最简单的原理和注意事项。

• 第一个参数是我们自行定义的需要求解的微分方程的函数
• 第二个参数代表求解的微分方程的初值，没有初值微分方程的解不能唯一确定
• 第三个参数是求解的微分方程中的自变量，应该是一个连续的序列值

我们必须明确，求解微分方程最终我们得到的是一个关于自变量的函数，而不是一个值。

在此我们说一点基础的数学知识点，对于一个函数，比如
$$y=4x^3+100$$
我们对它求导得到：
$$y^{\prime }=12x^2$$
那么对应的，求解第二个微分方程就能得到第一个方程吗？
答案是否定的，因为对第二个导数式子积分，得到的是：
$$y=4x^3+a(常数)$$
只有求解出常数a，才能唯一确定一个微分方程的解；否则我们得到的是一系列相差常数的解

官网例子说明

在odeint的官网里面有个具体的例子，我们拿出来讲一讲，
$${\theta }^{\prime \prime }(t)+b\ast {\theta }^{\prime }(t)+c\ast sin(\theta (t))=0$$
官网的办法是说把这个二阶的微分方程先变换作一阶的方程组：
$${\theta }^{\prime }(t)=\omega (t)$$ $${\omega }^{\prime }(t)=-b\ast \omega (t)-c\ast sin(\theta (t))$$
这里边有一个代换过程：

令$$\omega (t)={\theta }^{\prime }(t)$$
因此有：$${\omega }^{\prime }(t)={\theta }^{\prime \prime }(t)=-b\ast \omega (t)-c\ast sin(\theta (t))$$
最终我们需要的两个方程是：$${\theta }^{\prime }(t)=\omega (t)$$ $${\omega }^{\prime }(t)=-b\ast \omega (t)-c\ast sin(\theta (t))$$

随后官网根据这个代换过程定义了一个函数:

def pend(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt

或许有些python基础不是很好的同学对于这个函数比较陌生，我先来解释下，

• 参数b,c是系统的常数我们暂且承认即可
• t是微分方程的自变量，这个没有争议
• theta, omega = y，这句可能会有疑惑，我们传入的y到底是个啥？

还记得前面的一阶代换过程嘛，简单来说就是把y先分成theta和omega，一个代表原微分方程theta第二个代表theta的一阶导；再对这两个求导就分别得到了一阶导和二阶导。

• 此函数返回的dydt是一个列表，分别代表theta的一阶导 和 二阶导 ，但是两阶导数是通过中间变量omega的一阶导数来表示的。

这里面牵扯了一些数学代换，最终的式子为了变量减少，只能出现不带导数的theta和omega，看不懂先看下去，后面会有一个简单的例子来说明，我们先大概了解官网这个例子在说什么即可。

有些同学或许觉得现在我们就可以调用方程求解了，其实认真看的同学知道，我们此时还缺少关键的初始条件，否则无法确定唯一的一个解。为了方便此时我们把系统变量b，c同时定义好：

b = 0.25
c = 5.0
y0 = [np.pi - 0.1, 0.0] #初始条件

此处初始条件有两个是因为，我们有一个方程组（两个方程），原方程和一阶方程都需要初始条件（同样可以看到后面的简单例子）。

在编程时我们还需要定义自变量，这个也很重要，

t = np.linspace(0, 10, 101)

到此为止，准备工作全部完成，我们可以求解了。

sol = odeint(pend, y0, t, args=(b, c))

其实我们会发现这个结果sol，是一个形状为(101，2)的数组。第一列是theta(t)，第二列是omega(t),也就是说得到了两个解，theta(t)是原微分方程的解，omega(t)是原方程的一阶导数方程。

plt.plot(t, sol[:, 0], 'b', label='theta(t)')
plt.plot(t, sol[:, 1], 'g', label='omega(t)')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.show()

通过调用以上语句，官网分别画出了结果的图像，如下所示，

官网的介绍到此为止了，我不知道有没有小伙伴看完和我一样很懵，定义微分方程为什么是这样的，还有没有别的可能，关于这个odeint有没有别的需要注意的点，这一个例子感觉说的不那么明白，比如我有以下疑问：

1. 首先，自定义的微分方程的函数，如果我们需要求解的是一阶的怎么办？
2. 如果是二阶的微分方程，theta, omega = y和omega ,theta,= y 和下面的返回值列表有没有一一对应关系
3. 如果关系，应该如何组织二者的顺序。
4. 对于二阶微分方程的初值那个列表，第一个数代表得是原方程的初值吗？那第二个是不是应该代表一阶微分方程的初值，为了保证结果的正确，到底应该如何安排顺序？

这是我看完的几个疑问，如果你愿意跟我一起，通过下面的代码进行测试，我相信，你会对这个odeint有更深一点的理解。

测试

1先定义好数学问题

就拿我们前面举过的例子来说吧，对于下面的函数【1】，
$$y=4x^3+100$$
我们对它求导得到表达式【2】：
$$y^{\prime }=12x^2$$

这是一个一阶微分方程，表达式【1】是它的一个解（别忘记常数）

我们在此求导得到表达式【3】，
$$y^{\prime \prime }=24x$$

这是一个二阶微分方程，表达式【1】是它的一个解（同样别忘记常数）

先求一阶的结果

如果我们想求表达式【2】y’=12x^2 在初值为100（本文指的是x=0时）的情况下，这个微分方程的解是多少，我们编写如下函数，

initial = 100				# 定义原方程初始值
def f1(y,x):
    return 12*x**2
x = np.linspace(0,10,100) 	#定义自变量
result1 = odeint(f1,initial,x) #调用求解
plt.plot(x,result1)				#求解值
plt.plot(x,4*x**3+initial,'--k') #真实值

这里我们会发现我们需要定义的微分方程函数，返回的都是某个变量的一阶导数，所以说这个odeint在调用时填入的参数fun句柄，应该是以一阶微分形式给出的，所以以后定义这种函数我们应该都化为一阶然后写好自定义函数，再传入odeint里面。
本文初值为100，指的是x=0时，y=100。请思考如果是x=1时，y=104该如何表示！

上图结果说明一阶的求解结果完全正确。

二阶微分方程的测试

如果我们想求解表达式【3】y’’ = 24x 在初始值100 和 一阶初值 0 的情况下的解，
此时应先化为一阶方程组，令

$$\omega =y^{\prime }$$ $$y^{\prime \prime }={\omega }^{\prime }=24x$$

确认如下结果方程组：
$$y^{\prime }=\omega$$ $${\omega }^{\prime }=24x$$
如此保证方程左边是一阶组，右边是不含导数项。

我们应该编写如下函数，

initial = 100	#原初值
derivative1 = 0 #一阶初值
def f2(y,x):
    y1,w = y
    return np.array([w,24*x]) #返回值列阵 先一阶 再 二阶 由低到高
x = np.linspace(0,10,100)		#定义自变量
result2 = odeint(f2,(initial,derivative1),x)  #初值对应 先原方程 再 一阶 由低到高
plt.plot(x,result2)
plt.plot(x,4*x**3+initial,'--k')

可以发现原方程的结果是吻合的。

如果我们调换一下初值的顺序(initial,derivative1)为(derivative1，initial)，即先一阶导再二阶导，会发生什么呢？结果还正确嘛？

initial = 100	
derivative1 = 0 
def f2(y,x):
    y1,w = y
    return np.array([w,24*x]) 
x = np.linspace(0,10,100)
#result2 = odeint(f2,(initial,derivative1),x)  #初值对应 先原方程 再 一阶 由低到高 【注释掉】
result2 = odeint(f2,(derivative1,initial),x)  #初值对应 先一阶 再 原方程  会出现错误【如下图】

plt.plot(x,result2)
plt.plot(x,4*x**3+initial,'--k')

可以看出来，如果改变初值顺序结果是错误的。那么这个顺序应该跟谁对应呢？

那尝试如果改变初值顺序改变的情况下，把自定义函数的返回值也调换，会不会得到正确结果呢？
我们看下面的代码：

def f2(y,x):
    y1,w = y
    # return np.array([w,24*x]) #返回值列阵 先一阶 再 二阶 由低到高 【注释掉】
    return np.array(24*x,w) #返回值列阵 先 二阶  再 一阶 由高到低
x = np.linspace(0,10,100)

result2 = odeint(f2,(derivative1,initial),x)  #初值对应 先一阶 再 原方程  会出现错误

plt.plot(x,result2)
plt.plot(x,4*x**3+initial,'--k')

结果会报错：

RuntimeError: The size of the array returned by func (1) does not match the size of y0 (2).

这是因为在自定义函数中y1,w = y应该和返回值对应，如此应该调换为w,y1 = y

def f2(y,x):
    # y1,w = y #【注释掉】
    w,y1 = y
    # return np.array([w,24*x]) #返回值列阵 先一阶 再 二阶 由低到高 【注释掉】
    return np.array([24*x,w]) #返回值列阵 先 二阶  再 一阶 由高到低
x = np.linspace(0,10,100)

result2 = odeint(f2,(derivative1,initial),x)  #初值对应 先一阶 再 原方程  会出现错误的结果

plt.plot(x,result2)
plt.plot(x,4*x**3+initial,'--k')

这样我们得到了正确的结果

总结

这么麻烦，我们其实只说明了一个很简单的问题，初始值、返回值、中间变量这 三个位置的顺序必须完全相同， 正序或者逆序 都可以，但三个必须保持一致，才能出现正确的结果。

这个顺序我的理解是 原方程-一阶导-二阶导 这样的顺序。 初始值对应的 以及 返回值和中间变量替换对应的 应该是同样的次序， 比如 如果返回值列表是[一阶导 二阶导] 那么初始值对应的应该为[原方程初值 一阶导初值]，变量替换对应的元组也应该同一阶导和二阶导对应。

这是关于这个函数的第一篇，我也是刚接触这个东西第二天，不确定以后会不会继续写，希望不会误人子弟吧。有些地方表述可能不清楚，以后会修改。欢迎批评指正，另外不要杠我，你杠就是你对。