Python - matplotlib - 决策曲线分析（Decision Curve Analysis）

一、决策曲线分析概念

预测模型（predictive models）被广泛地应用于诊断（diagnosis）或预后预测（prognosis）。通常，这些模型的价值是通过统计学指标如敏感性、特异性、ROC曲线下面积、校准度来评估的，而这些指标无法考虑特定模型的临床实用性（clinical utility）。决策曲线分析（decision curve analysis, DCA）是衡量临床实用性的一种广泛使用的方法。

1. 阈值概率

一个预测模型的输出通常为介于0到1之间的一个值（pi），根据事前确定的阈值概率（cutoff value, probability threshold, pt），当pi > pt时，判断为阳性；当pi < pt时，判断为阴性。因此，患者被分成了预测阳性而施加干预和预测阴性而不施加干预的两组。在预测阳性组中，存在着真阳性病人（TP）和假阳性病人（FP）。显然，治疗真阳性病人会带来受益（benefits），而治疗假阳性病人会造成伤害（harms）。选择不同的阈值概率，会改变TP和FP的比值，从而受益和伤害的改变。

2. 净获益

为了同时考虑受益和伤害，决策曲线分析中，将模型的临床效用量化为净获益（net benefit）。

对于一个总样本量为 n ， 阈值为pt的诊断试验，可以画出四格表：

	金标准（+）	金标准（-）
模型（+）	TP	FP
模型（-）	FN	TN

阳性组的净获益为：
$$netbenefittreated=\frac{TP}{n}-\frac{FP}{n}\ast (\frac{p_t}{1-p_t})$$
阴性组的净获益为：
$$netbenefituntreated=\frac{TN}{n}-\frac{FN}{n}\ast (\frac{1-p_t}{p_t})$$
决策曲线定义了这样一种关系：
$$\frac{netbenefittreated-netbenefittreatall}{(\frac{p_t}{1-p_t})}=netbenefituntreated$$
因此，可以计算得到treat all策略（即无论预测模型结果如何，所以病人都进行干预）的净获益为：
$$netbenefittreatall=\frac{TP+FN}{n}-\frac{TN+FP}{n}\ast (\frac{p_t}{1-p_t})$$
对于treat none策略，所有病人无论模型结果如果，都不进行干预，其净获益恒为0。

所谓决策曲线，即是以不同的probability threshold为横坐标，其所对应的net benefit为纵坐标，画出的曲线。
理论成立，实践开始！

二、matplotlib实现

绘制模型的决策曲线，我们只需要模型输出的 每个样本的预测概率（y_pred_score） 和 每个样本真实的分类（y_label） 。

1. 计算模型带来的净获益

模型带来的获益即是模型预测出阳性的部分，因为只有预测阳性的部分会施加和原本不同的干预，因此net benefit treated即为net benefit of model：

def calculate_net_benefit_model(thresh_group, y_pred_score, y_label):
    net_benefit_model = np.array([])
    for thresh in thresh_group:
        y_pred_label = y_pred_score > thresh
        tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_label, y_pred_label).ravel()
        n = len(y_label)
        net_benefit = (tp / n) - (fp / n) * (thresh / (1 - thresh))
        net_benefit_model = np.append(net_benefit_model, net_benefit)
    return net_benefit_model

2. 计算treat all策略带来的净获益

def calculate_net_benefit_all(thresh_group, y_label):
    net_benefit_all = np.array([])
    tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_label, y_label).ravel()
    total = tp + tn
    for thresh in thresh_group:
        net_benefit = (tp / total) - (tn / total) * (thresh / (1 - thresh))
        net_benefit_all = np.append(net_benefit_all, net_benefit)
    return net_benefit_all

3. 绘制决策曲线

def plot_DCA(ax, thresh_group, net_benefit_model, net_benefit_all):
    #Plot
    ax.plot(thresh_group, net_benefit_model, color = 'crimson', label = 'Model')
    ax.plot(thresh_group, net_benefit_all, color = 'black',label = 'Treat all')
    ax.plot((0, 1), (0, 0), color = 'black', linestyle = ':', label = 'Treat none')

    #Fill，显示出模型较于treat all和treat none好的部分
    y2 = np.maximum(net_benefit_all, 0)
    y1 = np.maximum(net_benefit_model, y2)
    ax.fill_between(thresh_group, y1, y2, color = 'crimson', alpha = 0.2)

    #Figure Configuration， 美化一下细节
    ax.set_xlim(0,1)
    ax.set_ylim(net_benefit_model.min() - 0.15, net_benefit_model.max() + 0.15)#adjustify the y axis limitation
    ax.set_xlabel(
        xlabel = 'Threshold Probability', 
        fontdict= {'family': 'Times New Roman', 'fontsize': 15}
        )
    ax.set_ylabel(
        ylabel = 'Net Benefit', 
        fontdict= {'family': 'Times New Roman', 'fontsize': 15}
        )
    ax.grid('major')
    ax.spines['right'].set_color((0.8, 0.8, 0.8))
    ax.spines['top'].set_color((0.8, 0.8, 0.8))
    ax.legend(loc = 'upper right')

    return ax

三、完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import confusion_matrix


def calculate_net_benefit_model(thresh_group, y_pred_score, y_label):
    net_benefit_model = np.array([])
    for thresh in thresh_group:
        y_pred_label = y_pred_score > thresh
        tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_label, y_pred_label).ravel()
        n = len(y_label)
        net_benefit = (tp / n) - (fp / n) * (thresh / (1 - thresh))
        net_benefit_model = np.append(net_benefit_model, net_benefit)
    return net_benefit_model


def calculate_net_benefit_all(thresh_group, y_label):
    net_benefit_all = np.array([])
    tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_label, y_label).ravel()
    total = tp + tn
    for thresh in thresh_group:
        net_benefit = (tp / total) - (tn / total) * (thresh / (1 - thresh))
        net_benefit_all = np.append(net_benefit_all, net_benefit)
    return net_benefit_all


def plot_DCA(ax, thresh_group, net_benefit_model, net_benefit_all):
    #Plot
    ax.plot(thresh_group, net_benefit_model, color = 'crimson', label = 'Model')
    ax.plot(thresh_group, net_benefit_all, color = 'black',label = 'Treat all')
    ax.plot((0, 1), (0, 0), color = 'black', linestyle = ':', label = 'Treat none')

    #Fill，显示出模型较于treat all和treat none好的部分
    y2 = np.maximum(net_benefit_all, 0)
    y1 = np.maximum(net_benefit_model, y2)
    ax.fill_between(thresh_group, y1, y2, color = 'crimson', alpha = 0.2)

    #Figure Configuration， 美化一下细节
    ax.set_xlim(0,1)
    ax.set_ylim(net_benefit_model.min() - 0.15, net_benefit_model.max() + 0.15)#adjustify the y axis limitation
    ax.set_xlabel(
        xlabel = 'Threshold Probability', 
        fontdict= {'family': 'Times New Roman', 'fontsize': 15}
        )
    ax.set_ylabel(
        ylabel = 'Net Benefit', 
        fontdict= {'family': 'Times New Roman', 'fontsize': 15}
        )
    ax.grid('major')
    ax.spines['right'].set_color((0.8, 0.8, 0.8))
    ax.spines['top'].set_color((0.8, 0.8, 0.8))
    ax.legend(loc = 'upper right')

    return ax


if __name__ == '__main__':
    #构造一个分类效果不是很好的模型
    y_pred_score = np.arange(0, 1, 0.001)
    y_label = np.array([1]*25 + [0]*25 + [0]*450 + [1]*25 + [0]*25+ [1]*25 + [0]*25 + [1]*25 + [0]*25+ [1]*25 + [0]*25 + [1]*25 + [0]*25 + [1]*25 + [0]*25 + [1]*25 + [0]*50 + [1]*125)

    thresh_group = np.arange(0,1,0.01)
    net_benefit_model = calculate_net_benefit_model(thresh_group, y_pred_score, y_label)
    net_benefit_all = calculate_net_benefit_all(thresh_group, y_label)
    fig, ax = plt.subplots()
    ax = plot_DCA(ax, thresh_group, net_benefit_model, net_benefit_all)
    # fig.savefig('fig1.png', dpi = 300)
    plt.show()

四、拓展

由于存在抽样误差，单次建模的结果可能存在偏倚。通常情况下， 可以采用bootstrapping或者k折交叉验证的方法来对净获益进行校正。同时，还可以用这种方法获得净获益的置信区间。

1. bootstrapping法校正净获益

1. 用原始数据进行拟合建模，获得一组净获益（未校正的净获益）
2. 从原始数据中采取有放回的随机抽样，得到一组子数据，用这批数据拟合建模
3. 计算步骤2的模型在步骤2数据集中不同阈值概率的净获益
4. 计算步骤2的模型在原始数据集中不同阈值概率的净获益
5. 计算步骤3和步骤4中两组净获益的差值
6. 重复步骤2-5 n次（通常n = 1000），并可计算n次净效益的差值的平均值
7. 用步骤1中未校正的净效益减去步骤6中获得的平均差，即为修正净获益

2. k折交叉验证法校正净获益

1. 用原始数据进行拟合建模，获得一组净获益（未校正的净获益）
2. 将原始样本随机分成k个（例如，k = 5）大小相等的子集
3. 取出一个子集作为验证集，其他子集（k-1个）作为训练集
4. 使用训练集拟合建模，再用模型来预测验证集，得到预测概率pi
5. 重复步骤2-4 k次，所有样本都获得了pi，再计算整个原始数据的净获益
6. 重复分组n次，重复步骤2-5，可计算n次净获益的平均值，即为修正净获益

3. 计算净获益的置信区间

原理：根据bootstrapping法或k折交叉验证法得到的净获益结果，可以根据中心极限定理通过正态近似的方法求得置信区间