正态性检验之QQ图与PP图

正态性检验方法有很多种，主要可以分为以下几类：

图示法	统计方法
正态概率图、频率直方图、PP图、QQ图	偏度峰度检验、皮尔逊卡方检验、K-S检验、W检验、EP检验、秩和检验、游程检验等非参检验

按理说图示法应该是最简单的方法，但大多本科统计学教材并不会涉及PP图和QQ图，上网搜会发现各有各的画法云里雾里，为了防止之后再看一次又乱了所以自己再整理了一下

QQ图

QQ图全称是Quantile-Quantile Plot，要理解QQ图的绘制首先要把握好分位数（Quantile）的概念：

分位数（分位点）

给定总体X，其概率分布函数为F(x)，若x满足
$$F(x)=p$$
则称x为第0.25分位数

四分位数=第0.25分位数=第25百分位数，我们平常接触的定义是四分位数和百分位数，在后续换成中间那种理解就可以了，例如对该总体，第0.25分位数为-3，也就是F(-3)=0.25

上面针对的是连续分布函数F存在的情况，在很多实际问题中这个总体分布是未知的，我们只能用样本推断，用得到样本经验分布来近似总体分布

假设总体X未知，但我们有一个容量为n的样本$(x_1,x_2,...,x_n)$，可以得到次序统计量$(x_{(1)},...,x_{(n)})$，并导出样本经验分布$F_n(x)$：
$$F_n(x)=\{\begin{array}{rlr}& 0& x<x_{(1)}\\ & \frac{k}{n}& x_{(k)}\le x<x_{(k+1)},k=1,...,n-1\\ & 1& x\ge x_{(n)}\end{array}$$
这个经验分布的形式直接，易于理解，但有缺陷，比如当x取到$x_{(n)}$时，分布函数值就为1了，那是不是有种比$x_{(n)}$大的样本值不可能存在的意思？所以通常情况下会对上述经验分布做一些修正，将$\frac{k}{n}$做一些小改动，主要有以下几种改法：
$$\frac{k-0.5}{n};\frac{k}{n+1};\frac{k-0.375}{n+0.25}$$
在QQ图绘制时用的是第一种修正形式，在正态概率图绘制时则会用到第三种

此时我们考虑$F_n(x)=p$，由于经验分布的非连续性，如果给定的p不在$\{\frac{k-0.5}{n},k=1,...,n\}$中，是不能直接对应到x的

所以为了理解上的方便，在对样本设定分位数时，样本量多少就取多少个分位点，如样本量为n就有n个分位数，这样对于每个次序统计量$x_{(i)}$，都可以确定它是第几分位数，同样地给定p求第p分位数能得到一个样本值$x_{(i)}$，只要由下式通过$i$建立起$p$和$x$的一一对应就好：$$p_i=F_n(x_{(i)})=\frac{i-0.5}{n},i=1,...,n$$

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回到正态性检验QQ图上，它是散点图，横坐标为期望总体分布（正态性检验就是标准正态分布）的分位数，纵坐标为样本经验分布的分位数，如此一来一共有n个点，每个描的点坐标形式就是：
$$({\varphi }^{-1}(p_i),x_{(i)})$$
如果还觉得晕看个例子就好了：
样本为(2,6,4,7)，考虑$i=1$，就有$p=\frac{1-0.5}{4}=0.125$，通过p可以确定标准正态分布的分位数（由$p=\varphi (x)$得到分位数$x$，可以直接查表）和样本经验分布的分位数（由$p=F_n(x)$得到$x$）
当然，搞明白上面的关系可以发现样本经验分布的分位数可以直接由$i$得到，即$x_{(i)}$，在这里$x_{(2)}=4$

另外，如果我们需要的只是检验正态性，不需要对均值和方差进行图示检验，期望分布定为标准正态分布就好了，此时只要考察点是否落在一条直线上，直线的截距为均值，斜率为标准差；如果要检验分布是否为$N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\mu ,{\sigma }^2$已知），期望分布也可以直接定为$N(\mu ,{\sigma }^2)$，这是考察的就是点是否落在$y=x$上

下图来自Matlab官网的qqplot词条，稍微留意一下横纵坐标间距和起点都不同，可以认为它来自的总体满足正态性但绝非标准正态分布（有一说一官网词条的解释比乱搜清楚太多了）：

至于为什么落在一条直线上就说明是正态的呢？这直观上很好理解，如果还想用数学辅助理解的话，可以这么考虑，直线上坐标$({\varphi }^{-1}(p),F^{-1}(p))$，p是一个定义域在（0，1）区间上的变量，做变量替换：
$$\{\begin{array}{rl}& p=\varphi (x)\\ & p=F(y)\end{array}$$
线性约束可以写作$y=ax+b$，从而有$F(ax+b)=p=\varphi (x)$，这和正态分布转换公式$F(\sigma x+\mu )=\varphi (x)$是等价的，得证#
另外还可以顺便得出以下结论：直线的截距为均值，斜率为标准差

注：

QQ图不局限于正态性检验，它还可以检验两个样本来自的未知总体分布是否相同
两个样本的样本量$n_1,n_2$可以不同，分位数的个数取为$n_{min}=min\{n_1,n_2\}$；当分布相同时，点位于y=x上，当分布之间有线性关系时，点位于直线上

PP图

写不动了PP图就简要介绍一些了＞＜，和QQ图差不多，只是横纵坐标由分位数换成了累积概率，这就意味着横纵坐标的取值范围都落在0~1之间
说一下它是如何绘制的吧，回归这个式子：
$$F(x)=p$$
（它还在输出.jpg)
其实第p分位数为x，就等价于取值为x时累积概率为p，所以给定样本数据x，只要分别取样本经验分布$F_n(x)$和期望分布$F(x)$，就能通过上式得到两个p，将通过期望分布得到的p作为横坐标分量，通过样本经验分布得到的p作为纵坐标分量就可以描出散点图啦！点的个数即样本个数

一般QQ图使用得比较多，因为QQ图不仅能检验正态性，拟合出的直线的截距和斜率还能近似均值和方差

第一次写，有错误欢迎指出！