AI基础：朴素贝叶斯与垃圾邮件分类

来，继续回顾基础算法

背景&贝叶斯原理

• 朴素贝叶斯基于的原理是贝叶斯原理。

• 贝叶斯原理：通过相关概率已知的情况下利用误判损失来选择最优的类别分类。

• 贝叶斯原理是英国数学家托马斯·贝叶斯提出的。贝叶斯是个很神奇的人，他的经历类似梵高。生前没有得到重视，死后，他写的一篇关于归纳推理的论文被朋友翻了出来，并发表了。这一发表不要紧，结果这篇论文的思想直接影响了接下来两个多世纪的统计学，是科学史上著名的论文之一。

• 贝叶斯为了解决一个叫“逆向概率”问题写了一篇文章，尝试解答在没有太多可靠证据的情况下，怎样做出更符合数学逻辑的推测。

• 什么是“逆向概率”呢？先说正向概率，正向概率的问题很容易理解，比如我们已经知道袋子里面有 N 个球，不是黑球就是白球，其中 M 个是黑球，那么把手伸进去摸一个球，就能知道摸出黑球的概率是多少。但这种情况往往是上帝视角，即了解了事情的全貌再做判断

• 逆向概率：**如果我们事先不知道袋子里面黑球和白球的比例，而是通过我们摸出来的球的颜色，能判断出袋子里面黑白球的比例么？**贝叶斯原理与其他统计学推断方法截然不同，它是建立在主观判断的基础上：在我们不了解所有客观事实的情况下，同样可以先估计一个值，然后根据实际结果不断进行修正。

• 关于贝叶斯原理，又不得不熟悉这几个概念：条件概率，先验概率，后验概率，我这边文章有解释：AI基础：先验概率、后验概率

贝叶斯分类器

贝叶斯公式先上
$$\begin{gathered} P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A|B\right)P\left(B\right)}{P\left(A\right)} \\ P\left(\text{类别}|\text{特征}\right)=\frac{P\left(\text{特征}|\text{类别}\right)P\left(\text{类别}\right)}{P\left(\text{特征}\right)} \end{gathered}$$

我们最终的目的是求在当前特征下样本所属类别，化作条件概率公式就是P(类别|特征1,特征2,特征n)。当然就是求这一组特征{特征1,特征2,特征n}下每个类别的条件概率，哪个概率大，那就属于哪个类别。

贝叶斯分类器是基于贝叶斯原理理论的实践。

假设有N种可能的分类标记，记为={1,2,…,}，那对于样本，它属于哪一类呢？

计算步骤如下：

step 1. 算出样本 属于第i个类的概率，即(|)；

step 2. 通过比较所有的(|)，得到样本所属的最佳类别，最佳类别就是(|)值最大时所属的类。

将类别和样本代入到贝叶斯公式中，得到：
$$P(c_i|\mathbf{x})=\frac{P(\mathbf{x}|c_i)P(c_i)}{P(\mathbf{x})}.$$
​ 其中，是特征集合，()为先验概率，(|)为条件概率，()是用于归一化的证据因子（这个概念不明白先不管，先往后看）。对于()可以通过训练样本中类别为的样本所占的比例进行估计；此外，由于只需要找出最大的(|)，因此我们并不需要计算()。

朴素贝叶斯分类器

假设样本包含个属性，即={1,2,…,}，于是对于上述计算公式有
$$P\left(\mathbf{x}|c_i\right)=P\left(x_1,x_2,...,x_d|c_i\right)$$
这个联合概率（等号后面那一坨）难以从有限的训练样本中直接估计得到。于是，朴素贝叶斯（Naive Bayesian，简称NB）采用了“属性条件独立性假设”：对已知类别，假设所有属性相互独立。于是有：
$$P(x_1,x_2,\cdots ,x_d|c_i)=\prod _{j=1}^{d}P(x_j|c_i)$$
这样的话，我们就可以很容易地推出相应的判定准则了：
$$h_{nb}(\mathbf{x})={\mathrm{argmax}}_{c_i\in Y}P(c_i)\prod _{j=1}^{d}P(x_j|c_i)$$

多说一句，为啥要假设所有属性相互独立：

• x是特征集合，有d个特征，例如有P(好人|身高，体重，脾气），其中每个特征又有多个取值比如身高有高、矮俩取值，体重有重、轻，脾气有好、坏，那么这样联合概率就是会有d个层次维度的计算，这例子就是会有 2 * 2 * 2.。。个维度的计算，并且现实生活中往往不止这么少维度和特征取值数量，会让计算机无法计算，所以这里就需要假设特征相互独立。例如：P(好人|身高) * P(好人|体重) * P(好人|脾气)
• 第二点，假如我们没有假设特征之间相互独立，那么我们统计的时候，就需要在整个特征空间中去找，比如统计p(好人|身高，体重，脾气),我们就需要符合身高、体重、脾气对应取值的条件组下是好人的数据，这样的话，由于数据的稀疏性，很容易统计到0的情况。这样也是不合适的

条件概率 (|)的求解

如果是标签属性，那么我们可以通过计数的方法估计(|)：
$$\begin{gathered} P(x_j|c_i)=\frac{P(x_j,c_i)}{P(c_i)}\approx \frac{\#(x_j,c_i)}{\#(c_i)} \\ 其中，\#(x_j,c_i)表示在训练样本中x_j与c_i共同出现的次数。 \\ 如果x_j是数值属性，通常我们假设类别中c_i的所有样本第j个属性的值服从正态分布。 \\ 我们首先估计这个分布的均值\mu 和方差\sigma ，然后计算x_j在这个分布中的概率密度P(x_j|c_i)。 \end{gathered}$$

西瓜数据集下的朴素贝叶斯示例

使用经典的西瓜训练集如下：

编号	色泽	根蒂	敲声	纹理	脐部	触感	密度	含糖率	好瓜
1	青绿	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.697	0.460	是
2	乌黑	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	0.774	0.376	是
3	乌黑	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.634	0.264	是
4	青绿	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	0.608	0.318	是
5	浅白	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.556	0.215	是
6	青绿	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	软粘	0.403	0.237	是
7	乌黑	稍蜷	浊响	稍糊	稍凹	软粘	0.481	0.149	是
8	乌黑	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	硬滑	0.437	0.211	是
9	乌黑	稍蜷	沉闷	稍糊	稍凹	硬滑	0.666	0.091	否
10	青绿	硬挺	清脆	清晰	平坦	软粘	0.243	0.267	否
11	浅白	硬挺	清脆	模糊	平坦	硬滑	0.245	0.057	否
12	浅白	蜷缩	浊响	模糊	平坦	软粘	0.343	0.099	否
13	青绿	稍蜷	浊响	稍糊	凹陷	硬滑	0.639	0.161	否
14	浅白	稍蜷	沉闷	稍糊	凹陷	硬滑	0.657	0.198	否
15	乌黑	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	软粘	0.360	0.370	否
16	浅白	蜷缩	浊响	模糊	平坦	硬滑	0.593	0.042	否
17	青绿	蜷缩	沉闷	稍糊	稍凹	硬滑	0.719	0.103	否

对下面的测试例“测1”进行 分类：

编号	色泽	根蒂	敲声	纹理	脐部	触感	密度	含糖率	好瓜
测1	青绿	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.697	0.460	？

首先，估计类先验概率()，有
$$\begin{gathered} P(好瓜=是)=\frac{8}{17}=0.471 \\ P(好瓜=否)=\frac{9}{17}=0.529 \end{gathered}$$
然后，为每个属性估计条件概率（这里，对于连续属性，假定它们服从正态分布）
$$P_{青绿|是}=P（色泽=青绿|好瓜=是）=\frac{3}{8}=0.375$$

$$P_{青绿|否}=P（色泽=青绿|好瓜=否）=\frac{3}{9}\approx 0.333$$

$$P_{蜷缩|是}=P（根蒂=蜷缩|好瓜=是）=\frac{5}{8}=0.625$$

$$P_{蜷缩|否}=P（根蒂=蜷缩|好瓜=否）=\frac{3}{9}=0.333$$

$$P_{浊响|是}=P（敲声=浊响|好瓜=是）=\frac{6}{8}=0.750$$

$$P_{浊响|否}=P（敲声=浊响|好瓜=否）=\frac{4}{9}\approx 0.444$$

$$P_{清晰|是}=P（纹理=清晰|好瓜=是）=\frac{7}{8}=0.875$$

$$P_{清晰|否}=P（纹理=清晰|好瓜=否）=\frac{2}{9}\approx 0.222$$

$$P_{凹陷|是}=P（脐部=凹陷|好瓜=是）=\frac{6}{8}=0.750$$

$$P_{凹陷|否}=P（脐部=凹陷|好瓜=否）=\frac{2}{9}\approx 0.222$$

$$P_{硬滑|是}=P（触感=硬滑|好瓜=是）=\frac{6}{8}=0.750$$

$$P_{硬滑|否}=P（触感=硬滑|好瓜=否）=\frac{6}{9}\approx 0.667$$

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{密度：0.697|是}& =\rho （密度=0.697|好瓜=是）\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 0.129}exp\left(-\frac{(0.697-0.574{)}^2}{2\times 0.129^2}\right)\approx 1.959\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{密度：0.697|否}& =\rho （密度=0.697|好瓜=否）\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 0.195}exp\left(-\frac{(0.697-0.496{)}^2}{2\times 0.195^2}\right)\approx 1.203\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{含糖：0.460|是}& =\rho （密度=0.460|好瓜=是）\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 0.101}exp\left(-\frac{(0.460-0.279{)}^2}{2\times 0.101^2}\right)\approx 0.788\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{含糖：0.460|否}& =\rho （密度=0.460|好瓜=是）\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 0.108}exp\left(-\frac{(0.460-0.154{)}^2}{2\times 0.108^2}\right)\approx 0.066\end{array}$$

于是有
$$\begin{gathered} P(好瓜=是)\times P_{青绿|是}\times P_{蜷缩|是}\times P_{浊响|是}\times P_{清晰|是}\times P_{凹陷|是} \\ \times P_{硬滑|是}\times p_{密度：0.697|是}\times p_{含糖：0.460|是}\approx 0.063 \\ P(好瓜=否)\times P_{青绿|否}\times P_{蜷缩|否}\times P_{浊响|否}\times P_{清晰|否}\times P_{凹陷|否} \\ \times P_{硬滑|否}\times p_{密度：0.697|否}\times p_{含糖：0.460|否}\approx 6.80\times 10^{-5} \end{gathered}$$

由于0.063>6.80×10−5，因此，朴素贝叶斯分类器将测试样本“测1”判别为“好瓜”。

朴素贝叶斯分类的优缺点

• 优点：
  1.时空开销都非常小
  2.训练预测的时间开销
• 缺点：
  简化的假设，不太贴合实际，因为独立性假设往往不成立。在属性个数多的时候或者属性之间相关性较大的时候分类效果不好

在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。故有半朴素贝叶斯之类的算法通过考虑部分关联性适度改进。

朴素贝叶斯关键问题

• 对大样本适配性更好
• 特征连续值怎么用？分桶离散化、正态分布-高斯分布的概率估计（这也是为啥上述例子对于【密度】连续特征值要假设符合正态分布来获得他的概率估计）
• 概率估计：极大似然估计、频率估计
• 概率的拉普拉斯平滑：防止0概率的连乘效应

拉普拉斯平滑和极大似然估计后续单独出文章聊聊

朴素贝叶斯企业中的应用案例

• 推荐系统中

  基于用户标签的资源推荐
  P(资源|标签) = P（标签|资源）* P(资源)/P(标签)

• NLP

  文本分类最快最简单的版本
  例如：
  1>反作弊：广告识别/水军识别
  2>拼写检查
  3>新闻分类
  4>情感分析

基于朴素贝叶斯的垃圾邮件分类

import os
import pandas as pd
import jieba
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB

# 分词
def word_segment(line, stopwords_list):
    word_list = []
    for word in jieba.cut(line):
        if word.isalpha() and word not in stopwords_list:
            word_list.append(word)
    return " ".join(word_list)

# 特征转换-文本特征提取（将中文或英文单词 进行编码为 0101这样的特征数据，这样算法才能进行计算）
def feature_transform(texts):
    # 会将文本中的词语转换为词频矩阵
    transformer = CountVectorizer()
    # 转换成word-count的dataframe
    word_cnt_df = pd.DataFrame(transformer.fit_transform(texts).toarray())
    # 将word-count的dataframe 按列求和 得到每个词整体词频
    word_cnt_freq = pd.DataFrame(word_cnt_df.apply(sum, axis=0))
    # 筛选出词频 > 5的词特征列
    word_keep = [word_cnt_freq.index[i] for i in range(word_cnt_freq.shape[0]) if word_cnt_freq.iloc[i, 0] > 5]
    # 得到最终特征集合
    features = word_cnt_df[word_keep]
    return features

# 加载数据 并 划分数据集为测试和训练数据集
def load_data_and_split_dataset(base_path):
    # 读取邮件数据、停止词
    email_file_name = os.path.join(base_path, "chinesespam.xlsx")
    stopword_file_name = os.path.join(base_path, "stopwords.txt")
    stopwords_list = [i.strip() for i in open(stopword_file_name, 'r', encoding='utf8').readlines()]
    email_df = pd.read_excel(email_file_name, sheet_name=0)
    email_df['text'] = email_df.text.apply(lambda x: word_segment(x, stopwords_list))
    # 提取文本特征
    features = feature_transform(email_df['text'])
    # 提取文本标签（垃圾邮件还是正常邮件）
    labels = email_df['type']
    # 划分训练数据集、测试数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(features, labels, test_size=0.2, random_state=1)
    return x_train, x_test, y_train, y_test

# 模型训练
def model_training(x_train, y_train):
    model = BernoulliNB()
    model.fit(x_train, y_train)
    return model

# 测试模型
base_path = "./raw_data"
x_train, x_test, y_train, y_test = load_data(base_path)
model = model_training(x_train, y_train)
print(model.score(x_test, y_test))

输出：注意：以上是在jupyter notebook上测试编码流程

Building prefix dict from the default dictionary ...
Loading model from cache C:\Users\bangsun\AppData\Local\Temp\jieba.cache
Loading model cost 0.843 seconds.
Prefix dict has been built successfully.

0.9

chinesespam.xlsx、stopwords.txt 文件若没有的话，可以私聊我或评论找我

以上，若有表述不到位的地方，及时指出，谢谢