压缩感知与稀疏恢复 matlab示例（附代码）
前言
最近因为科研需要，又开始重新研究压缩感知（CS）与稀疏恢复（SR）理论。本人系初学，很多东西都没有学明白，姑且先摸着石头过河，仿照网上的例子，用matlab编程实现最基本的例子，写下了这篇笔记。
原理
关于压缩感知与稀疏恢复的原理就不再赘述，网上有很多博主写的很详细，这里推荐https://zhuanlan.zhihu.com/p/22445302
这篇文章原理写的通俗易懂。本文在这篇文章的基础上结合https://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/38820925所给出的代码，形成了我自己的理解。
信号模型
这里选择比较简单的信号形式：一些单音正弦信号叠加。选取两个单音正弦信号，频率为10Hz和15Hz，幅度分别为1.5V和1V，当然这些参数在代码中都是可调的。两个信号时域图如下所示：
叠加后时域图如下：
信号的最大频率为15Hz，根据奈奎斯特采样定理，最小采样速率为两倍最大频率，即N_fs=30Hz。事实上，计算机中无法处理模拟信号，上面两张图是用非常高的采样速率（3kHz）得到的，因此看起来像是模拟信号。
为了减少计算机的工作量，将采样速率降低为fs=600Hz，采样时宽为T=5s。信号采样结果如下所示（时间截断到1s）。和上图相比，看起来没什么信息损失。
用fft加fftshift的方法（不知道的可以翻我的matlab专栏关于画频谱的），绘制该信号的双边频谱如下图所示（只显示100Hz以内）。
可以看到大约在10Hz和15Hz有两根谱线，幅度对应大约0.75和0.5，这正是我们设定的两个单音正弦信号叠加。（双边频谱非0频处幅度要乘以2）
数据不准确（栅栏效应）以及下方旁瓣效应是因为采样频率和时宽不够大，深层次的原因是计算机中无法真正仿真模拟信号和无限长信号。
符号定义
为了方便理解文章和代码，我使用的是压缩感知理论中惯用符号说明，正如知乎中“稍有常识的人”说写的：
x x x——时域信号，长度为N
y y y——观测信号，长度为M，应有M<
Ψ \Psi Ψ（Psi）——稀疏基矩阵N × \times ×N，这里表示频域转换到时域，有 x = Ψ S x=\Psi S x=ΨS
Φ \Phi Φ（Phi）——观测（测量）矩阵M × \times ×N，表示压缩的过程，后面细讲。
Θ \Theta Θ（Theta）——传感矩阵（亦称感知矩阵）M × \times ×N，有 Θ = Φ Ψ \Theta=\Phi \Psi Θ=ΦΨ，这样等式就可以简化为 y = Θ S y=\Theta S y=ΘS
矩阵向量应该加粗非斜体的，懒得弄了凑合看吧
稀疏基矩阵的构建
在本例中， Ψ \Psi Ψ的构建代码为Psi=inv(fft(eye(N,N)));
表示对单位阵求离散傅里叶变换后再求逆。
先讲一点前置知识，对于长度为N的时域离散信号 x x x来说，其离散傅里叶变换为 S S S，那么它可以写成 S = fft ( x ) S=\text{fft}(x) S=fft(x)，也可以写成 S = fft ( I ) x S=\text{fft}(I)x S=fft(I)x，其中 I I I表示N × \times ×N的单位阵。根据离散傅里叶变换的定义可知，它是从0到N-1的乘积求和累加，而求和累加的过程可以视为矩阵中行向量乘以 x x x列向量。而由于单位阵，稀疏基矩阵中只有旋转因子 W N k W_N^k WNk，因此时域信号左乘 fft ( I ) \text{fft}(I) fft(I)就相当于做了傅里叶变换。
因此，将傅里叶变换的矩阵求个逆，就是逆傅里叶变换，即 x = Ψ S x=\Psi S x=ΨS
稀疏矩阵的物理意义，就是把要采样的信号变换到另一个域中，而在这个域中，信号是稀疏的。在本例中，信号在时域并不稀疏，通过傅里叶变换变换到频域后就成为稀疏信号了。同理，也可以使用小波变换、余弦变换等，只要变换后的向量是稀疏的即可。
观测矩阵的构建
观测矩阵这里面有很深的学问，我还没了解清楚。我找到了一篇学长的硕士毕业论文以供参考
【吴赟.压缩感知测量矩阵的研究[D]. 西安电子科技大学硕士学位论文，2012】
大致来讲（可能说的不对，还请批评指正）
Candes、Romberg和Tao指出，要想能解出 y = Θ S y=\Theta S y=ΘS，传感矩阵 Θ \Theta Θ需要满足有限等距性质(Restricted Isometry Property,Rip)
参考自：
E．Candes，J．Romberg，T．Tao．RobuSt uncertainty principles：Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information．IEEE Transactions on Information Theory,2006，v01．52，no．3，PP．489-509．
E．Candes，T．Tao．Decoding by
linear programming．IEEE Transactions on Information Theory,2005，v01．51，no．12，PP．4203-4215．
但是，上述只是一个理论设想，实际上要直接验证矩阵是否满足RIP条件是一件很困难的事情。在实际应用中，我们可以用RIP准则的一种等价情况，即非相干性来指导测量矩阵的设计。所谓非相干性(Incoherence)，是指矩阵 Φ \Phi Φ的行向量不能用矩阵 Ψ \Psi Ψ中的列向量稀疏表示。
而Donoho等人指出，服从高斯分布的随机矩阵可以很大概率上满足上述条件，因此随机高斯测量矩阵是常用的测量矩阵，本例中也使用该测量矩阵。
截图源自学长的论文
matlab生成随机高斯测量矩阵的代码：Phi=sqrt(1/M)*randn(M,N);
上述知乎文章中提到，这个测量矩阵的物理意义是对时域信号的随机亚采样(不等间距采样)，但是我搜集了很多资料，还是不能理解这个测量矩阵是如何做到随机采样的，而且比较疑惑测量向量 y y y是如何得出来的。现有代码中都是提前知道了 x x x,然后用 y = Θ S y=\Theta S y=ΘS得出，但是实际中得到 x x x的过程本身就已经完成了过采样，那还要压缩感知做什么？
如果测量矩阵 Φ \Phi Φ是一个N × \times ×N的单位阵，那么压缩感知就退化成了普通的采样过程。
稀疏恢复
好，现在问题来了。已知测量向量 y y y和传感矩阵 Θ \Theta Θ，且有 y = Θ S y=\Theta S y=ΘS，如何求解出稀疏向量 S S S？
这就是稀疏恢复问题。
我之前发过的一篇论文研究过这个稀疏恢复问题，当时是使用极大极小值优化算法，感兴趣的可以了解一下：
J. Chen et al., “A Sparsity Based CFAR Algorithm for Dense Radar Targets,” 2020 IEEE Radar Conference (RadarConf20), 2020, pp. 1-6, doi: 10.1109/RadarConf2043947.2020.9266526.
本例中等式不含噪声，我就偷个懒，用matlab的CVX凸优化工具箱。这个工具箱需要安装，先在官网上下载，然后百度一下教程，很容易就安装好了。
由于信号在频域稀疏，即 S S S是一个稀疏信号，因此优化的目标函数可以是 S S S的零范数或者一范数，一范数更好求解一些，因此一范数更常用，具体的数学原理我也不会不讲 。
最终求解的问题如下
m i n ∣ ∣ S ∣ ∣ 1 min ||S||_1 min∣∣S∣∣1
s u b j e c t t o y = Θ S subject\space to \space y=\Theta S subject to y=ΘS
matlab代码如下：
%%使用cvx凸优化工具箱
cvx_startup;
cvx_begin
variable Sp(N) complex;%定义待求解的变量
minimize(norm(Sp,1));%一范数约束表示提高稀疏性
subject to
Theta*Sp==y;%约束条件
cvx_end
优化结果 S p S_p Sp并不是真正稀疏的，其中大部分值都是极其接近于0而不等于0，这些显然应该为0的值，需要我们手动置零来避免其干扰。判定哪些值需要置零而哪些值不需要置零，需要我们设定一个阈值，我这里简单的用 3 σ 3\sigma 3σ法则设定，即threshold=3*std(abs(Sp));别问为什么，问就是一切皆高斯分布
低于阈值以下的值置零，就可以更准确的得到稀疏向量解 S p S_p Sp。
最后用ifft将频域解变换到时域（或者左乘 Ψ \Psi Ψ也行），恢复出最终的时域采样结果。
仿真结果分析
对上述信号进行压缩感知与稀疏恢复处理，恢复出的结果 S p S_p Sp与真值 S S S进行比较，得到下图：
可以看到恢复精度还是很高的。稀疏恢复解有一些毛刺，阈值处理可以很好的消除。
转换到时域观察结果
曲线几乎完全重合，使用均方根误差(RMSE)来评估精度，计算出RMSE=0.070639
由于使用的是随机高斯测量矩阵，因此每次试验的值都不一样，但总体RMSE是很低的，表明恢复良好。
之前提到，奈奎斯特采样频率为N_fs=30Hz，时宽为T=5s，因此采样点数为150个点，这是经典理论中要求最少的采样点数。
稀疏恢复理论中指出，观测长度M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构。在本例中K=2，N=3000，计算出M最小为15。由于要采样的信号不是真正的模拟信号，频域并不是完全稀疏，因此M应该大一些，本例设置为M=30。
对比压缩感知与经典采样理论可以发现，前者只需要长度为30的观测向量，而后者需要长度为150的采样点。压缩感知可以减少80%的采样点，而恢复精度很高，这无疑是一个巨大的进步。
代码
https://download.csdn.net/download/weixin_42845306/20325903
本人尚在初学阶段，难免会有理解错误。如有问题或建议，欢迎评论区留言！