UVa 10214 (莫比乌斯反演 or 欧拉函数) Trees in a Wood.

题意：

这道题和POJ 3090很相似，求|x|≤a，|y|≤b 中站在原点可见的整点的个数K，所有的整点个数为N(除去原点)，求K/N

分析：

坐标轴上有四个可见的点，因为每个象限可见的点数都是一样的，所以我们只要求出第一象限可见的点数然后×4+4，即是K。

可见的点满足gcd(x, y) = 1，于是将问题转化为x∈[1, a]， y∈[1, b]，求gcd(x, y) = 1的个数。

类比HDU 1695可以用莫比乌斯反演来做，我还写了普通的和分块加速的两份代码，交上去发现运行时间相差并不是太多。

 1 #include <cstdio>

 2 #include <algorithm>

 3 typedef long long LL;

 4 

 5 const int maxn = 2000;

 6 int mu[maxn+10], vis[maxn+10], prime[maxn];

 7 

 8 void Mobius()

 9 {

10     mu[1] = 1;

11     int cnt = 0;

12     for(int i = 2; i <= maxn; ++i)

13     {

14         if(!vis[i])

15         {

16             mu[i] = -1;

17             prime[cnt++] = i;

18         }

19         for(int j = 0; j < cnt && (LL)i*prime[j] <= maxn; ++j)

20         {

21             vis[i*prime[j]] = 1;

22             if(i % prime[j] != 0) mu[i*prime[j]] = -mu[i];

23             else

24             {

25                 mu[i*prime[j]] = 0;

26                 break;

27             }

28         }

29     }

30     //计算前缀和，用于分块加速

31     for(int i = 2; i <= 2015; ++i) mu[i] += mu[i-1];

32 

33 }

34 

35 int main()

36 {

37     Mobius();

38     int a, b;

39     while(scanf("%d%d", &a, &b) == 2)

40     {

41         if(a == 0 && b == 0) break;

42         LL K = 0, N = (LL)(a*2+1) * (b*2+1) - 1;

43         if(a > b) std::swap(a, b);

44         for(int i = 1, j; i <= a; i = j + 1)

45         {

46             j = std::min(a/(a/i), b/(b/i));

47             K += (LL)(mu[j] - mu[i-1]) * (a/i) * (b/i);

48         }

49         //for(int i = 1; i <= a; ++i) K += (LL) mu[i] * (a/i) * (b/i);

50         K = (K+1)*4;

51 

52         printf("%.7f\n", (double) K / N);

53     }

54 

55     return 0;

56 }

代码君

 

也可以按照紫书上的思路求欧拉函数，因为a的范围比较小，所以可以逐列统计。不过这个方法要比上面的莫比乌斯反演慢得多，试验了下，不管是打表还是单独计算时间都差不多

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cmath>

 3 typedef long long LL;

 4 

 5 int phi(int n)

 6 {

 7     int m = sqrt(n + 0.5);

 8     int ans = n;

 9     for(int i = 2; i <= m; ++i) if(n % i == 0)

10     {

11         ans = ans / i * (i-1);

12         while(n % i == 0) n /= i;

13     }

14     if(n > 1) ans = ans / n * (n-1);

15     return ans;

16 }

17 

18 int gcd(int a, int b)

19 {

20     return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);

21 }

22 

23 int main()

24 {

25     int a, b;

26     while(scanf("%d%d", &a, &b) == 2 && a)

27     {

28         LL N = (LL)(a*2+1) * (b*2+1) - 1;

29         LL K = 0;

30         for(int x = 1; x <= a; ++x)

31         {

32             int k = b / x;

33             K += phi(x) * k;

34             for(int y = k*x+1; y <= b; y++)

35                 if(gcd(x, y) == 1) K++;

36         }

37         K = (K+1)*4;

38         printf("%.7f\n", (double)K / N);

39     }

40 

41     return 0;

42 }

代码君二