UVa 1393 (容斥原理、GCD) Highways

题意：

给出一个n行m列的点阵，求共有多少条非水平非竖直线至少经过其中两点。

分析：

首先说紫书上的思路，编程较简单且容易理解。由于对称性，所以只统计“\”这种线型的，最后乘2即是答案。

枚举斜线包围盒的大小，如果盒子的长宽ab互质，则是可以的。这种盒子共有(m-a)(n-b)个，但要减去其中重复的。如果有一个长宽为2a和2b的大盒子，则计数右下角的小盒子的同时，左上角的小盒子会重复，所以要减去重复的盒子的个数c = max(0, m-2a) * max(0, n-2b)

最后gcd(a, b)的值是要预处理的

 1 #include <cstdio>

 2 #include <algorithm>

 3 

 4 const int maxn = 300;

 5 int gcd[maxn+10][maxn+10];

 6 

 7 int GCD(int a, int b)

 8 {

 9     return b == 0 ? a : GCD(b, a%b);

10 }

11 

12 int main()

13 {

14     for(int i = 1; i <= maxn; ++i)

15         for(int j = 1; j <= i; ++j)

16             gcd[i][j] = gcd[j][i] = GCD(i, j);

17 

18     int n, m;

19     while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)

20     {

21         int ans = 0;

22         for(int a = 1; a <= n; ++a)

23             for(int b = 1; b <= m; ++b)

24                 if(gcd[a][b] == 1)

25                 {

26                     int c = std::max(0, n-a*2) * std::max(0, m-b*2);

27                     ans += (n-a)*(m-b) - c;

28                 }

29 

30         printf("%d\n", ans * 2);

31     }

32 

33     return 0;

34 }

代码君

 

解法二：

解法转自UVA 1393 - Highways (容斥原理计数)

dp(i, j)表示在长宽为ij的盒子中，从左上角最多能连多少条不重复的直线。

可以根据容斥原理递推dp(i, j) = dp(i-1, j) + dp(i, j-1) - dp(i-1, j-1) + (gcd(i, j) = 1) (因为盒子两边长互质的时候，才能连出一条新边出来)

最后答案ans递推的形式也是一样的，但重复的连线是那些缩小两倍后仍存在的直线

ans(i, j) = ans(i-1, j) + ans(i, j-1) - ans(i-1, j-1) + dp(i, j) - dp(i/2, j/2)

最后代码中，本想着只计算一半答案会快一点，结果排名21，登榜失败。

 1 #include <cstdio>

 2 #include <algorithm>

 3 

 4 const int maxn = 300;

 5 int dp[maxn+1][maxn+1], ans[maxn+1][maxn+1];

 6 

 7 int gcd(int a, int b)

 8 {

 9     return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);

10 }

11 

12 void Init()

13 {

14     for(int i = 1; i <= maxn; ++i)

15         for(int j = 1; j <= i; ++j)

16         {

17             if(i == j) dp[i][j] = dp[i][j-1] * 2 - dp[i-1][j-1] + (gcd(i, j) == 1);

18             else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + (gcd(i, j) == 1);

19         }

20 

21     for(int i = 1; i <= maxn; ++i)

22         for(int j = 1; j <= i; ++j)

23         {

24             if(i == j) ans[i][j] = ans[i][j-1] * 2 - ans[i-1][j-1] + dp[i][j] - dp[i/2][j/2];

25             else ans[i][j] = ans[i][j-1] + ans[i-1][j] - ans[i-1][j-1] + dp[i][j] - dp[i/2][j/2];

26         }

27 }

28 

29 int main()

30 {

31     Init();

32     int n, m;

33     while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)

34     {

35         if(n < m) std::swap(n, m);

36         printf("%d\n", ans[n-1][m-1]*2);

37     }

38 

39     return 0;

40 }

代码君