第十三届蓝桥杯C++B组国赛C题——卡牌 (AC)

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：算法题解

1.卡牌

1.问题描述

这天, 小明在整理他的卡牌。

他一共有 $n$ 种卡牌, 第 $i$ 种卡牌上印有正整数数 $i(i\in [1,n]),$ 且第 $i$ 种卡牌 现有 $a_i$ 张。
而如果有 $n$ 张卡牌, 其中每种卡牌各一张, 那么这 $n$ 张卡牌可以被称为一 套牌。小明为了凑出尽可能多套牌, 拿出了 $m$ 张空白牌, 他可以在上面写上数 $i$, 将其当做第 $i$ 种牌来凑出套牌。然而小明觉得手写的牌不太美观, 决定第 $i$ 种牌最多手写 $b_i$张。

请问小明最多能凑出多少套牌?

2.输入格式

输入共 3 行, 第一行为两个正整数 $n,m$ 。

第二行为 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n。$

第三行为 $n$ 个正整数 $b_1,b_2,\dots ,b_n。$

3.输出格式

一行, 一个整数表示答案。

4.样例输入

4 5
1 2 3 4
5 5 5 5

5.样例输出

3

这 5 张空白牌中, 拿 2 张写 1 , 拿 1 张写 2 , 这样每种牌的牌数就变为了 $3,3,3,4$ 可以凑出 3 套牌, 剩下 2 张空白牌不能再帮助小明凑出一套。

6.数据范围

对于 $30\%$ 的数据, 保证 $n\le 2000$;

对于 $100\%$ 的数据, 保证 $n\le 2\times 10^5;a_i,b_i\le 2n;m\le n^2$ 。

7.原题链接

卡牌

2.解题思路

  从题意出发，发现想直接求出答案，并没有一个很高效的办法，但如果给定我们一个 $x$ ，让我们去判断能否凑出 $x$ 套牌，这个操作对我们来说并不难。所以我们可以考虑二分答案的做法，既然要二分那肯定得具有两段性，不难理解，如果我们可以凑出$x$套牌，那么$[1,x-1]$套牌也都是一定可以凑出来的,而并不一定可以凑出大于$x$的套牌数。

  那么二分的check判断函数我们该如何书写呢？显然要凑够$x$套牌，我们需要使得每种类似的牌都有$x$张，如果已经当前判断牌的类型的数量已经大于等于$x$，则不需要使用空白牌补充。如果使用当前类型的牌数加上它最多可加上的空白牌数仍然小于$x$,那么此时可以直接返回false了。如果当前牌类型允许补充空白牌的数量足够给我们进行补充到 $x$ ，那么我们让空白牌的数减去需要使用的数量，如果不够用了，那么也返回false，如果可以完成所有的牌的填充，则返回true。

  另外一个需要注意的点是$r$的上限，以及$m$的范围。$m$的最大范围已经超出int，所以我们要使用long long，另外$n$的最大范围是$2\times 10^5$，而$m$最大取到$n^2$,能凑出的最大套牌数应该是$2n$,所以$r$的上限一定不能设小了。

整体做法的时间复杂为:$O(nlogn)$

3.Ac_code

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200010;

//二分答案
LL n,m;
int a[N],b[N];
bool check(int x){
	LL v=m;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		//直接符合
		if(a[i]>=x) continue;
		//肯定不符合
		if(a[i]+b[i]<x) return false;
		if(a[i]+b[i]>=x&&v>=x-a[i]){
			v-=(x-a[i]);
		}else{
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main() 
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>b[i];
	int l=0,r=N*2;
	while(l<r){
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<r<<endl;
    return 0;
}