[PKU 2777] 线段树(一) {概述 基本操作}
{
以前写的线段树都是零碎
而且描述的也不清楚
最近打算整理一下
就从我的第一个线段树程序开始吧
}
线段树 Segment_tree
网上有人把线段树翻译成 Interval_Tree
Interval_Tree 是另外一种数据结构 而且并非二叉树
这个是线段树的标准E文翻译
可以看wikipedia的原文 http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree
顾名思义 线段树存储的是连续的线段而非离散的节点
先看一张经典的线段树图解
![[PKU 2777] 线段树(一) {概述 基本操作}](http://img.e-com-net.com/image/product/1de1c1fe6a024ac2bbafdc7c0bacc2b9.jpg)
这个就是标准的线段树
既然是树形结构 我们就得先考虑怎么存储这棵树
分析线段树的定义
*线段树是一棵二叉树 记为T(a, b)
*参数a,b表示区间[a,b] 其中b-a称为区间的长度 记为L
*线段树T(a,b)也可递归定义为
-若L>1 [a, (a+b) div 2]为T的左儿子
[(a+b) div 2,b]为T的右儿子
-若L=1 T为叶子节点
可以得到一些基本性质
*线段树除最后一层外是满二叉树
*线段树是平衡的 高度是Log2L左右
如此我们有2种存储方法
*直接用指针
定义节点
type node=record
ls,rs:^node;
l,r:longint;
end;
其中ls rs分别为左右儿子 l,r是区间的范围
真正实现时一般用数组模拟指针
我们只需定义longint数组ls[] rs[] l[] r[]
*用*2和*2+1代替左右儿子指针
由于是除最后一层外是满二叉树
我们可以向存储堆一样存储线段树
用l[] r[]来存储节点区间范围
x的左右儿子分别就是x*2和x*2+1
具体实现用位移代替乘2
这样乘法指针运算和上述数组调用一样 几乎不需要时间
具体用哪种纯粹是个人喜好 没什么区别
(下文中我的程序都是用的数组模拟 直接存储儿子指针)
接下来讨论线段树的具体操作
也就是维护这种数据结构的算法 (srO 数据结构+算法=程序 Orz)
总结起来就两个词 递归 & 分治
结合一个具体问题吧 PKU 2777
http://poj.org/problem?id=2777
这是线段树的入门题 相当经典
要求程序实现一个涂色的程序
支持对区间[A,B]涂C的颜色和统计区间[A,B]的颜色种类
朴素的做法是用数组a[]存储下整个区间[0,100000]
然后循环涂色 循环查询 这样的复杂度是N*N 大大地TLE
我们考虑用线段树处理这个区间问题
首先我们得建树
先看程序
1
procedure
build(a,b:longint);
2
var
x,mid:longint;
3
begin
4
inc(tt); x:
=
tt;
5
l[x]:
=
a; r[x]:
=
b;
6
if
b
-
a
>
1
7
then
begin
8
mid:
=
(a
+
b)shr
1
;
9
ls[x]:
=
tt
+
1
; build(a,mid);
10
rs[x]:
=
tt
+
1
; build(mid,b);
11
end
;
12
end
;
*第一行build函数是一个递归的过程 参数a,b表示当前建立区间[a,b]的节点
*第四行 inc(tt) 就相当于新建一个节点 x纪录当前节点
*第六行 b-a=1 是递归的边界条件 即建立到叶子节点了
*第八 九 十行 根据线段树定义 分别递归建立左右儿子区间
-注意儿子指针的赋值 由于递归下去第一层就是建立当前节点的儿子 直接赋值为tt+1即可
-注意使用shr运算提高效率 还需注意a b mid 皆为区间端点
其实上文中建好的线段树其实是一个骨架
就相当于朴素做法中我们还未操作的空数组 等待我们给它刷颜色
既然要刷颜色 我们就得存储各区间的颜色 给每个节点新开一个域n来记录颜色
表现在数组模拟上就是新建数组n[]
n数组代表当前节点所代表区间的颜色
因为这个问题的染色是覆盖类型的染色
对一个区间染色自然把为当前区间的子区间也染色了
所以是对子树染色而非区间染色
接着这样的思路 我们可以写出如下程序
1
procedure
insert(x,a,b,c:longint);
2
var
mid:longint;
3
begin
4
if
(a
<=
l[x])
and
(r[x]
<=
b)
5
then
n[x]:
=
c;
6
mid:
=
(l[x]
+
r[x])shr
1
;
7
if
a
<
mid
then
insert(ls[x],a,b,c);
8
if
b
>
mid
then
insert(rs[x],a,b,c);
9
end
;
*第四 五行 判断当前区间是否在需要覆盖的区间内 是就修改颜色
*第六 七 八行 根据线段树定义判断是否递归左右子树染色
这里需要说明一下这种写法的正确性
即不会出现[a,b]在[l[x],r[x]]外与当前区间没有交集的情况
首先在根节点处[a,b]和区间显然有交集
然后运用数学归纳法的思路 说明当前节点区间和[a,b]有交集的时候 递归插入儿子也是保证和儿子区间有交集的
这样只要执行插入函数就有交集 就能保证程序正确性
给出所有和当前区间有交集的情况图 可以发现经过if语句判断 递归插入都保证还是和儿子区间有交集
(黑色为当前区间 红色为欲染色区间 一共6种情况)
![[PKU 2777] 线段树(一) {概述 基本操作}](http://img.e-com-net.com/image/product/5e938459b9284c1bb80d9dbf434cddaf.jpg)
不难分析出这个插入函数的复杂度是O(N)级别的(需要遍历子树) 从常数上看比朴素还慢
但是不覆盖子树上的区间又会产生错误 我们需要对插入进行改进
改进后 我们的n[]数组不单记录一个节点的颜色 而是记录的子树的颜色
我们看具体操作
*如果当前区间已经染色且颜色和欲染色一致 则直接退出(这句话可以不要)
*如果当前区间被完全覆盖 就说明子树也被完全覆盖了 直接给当前节点染色退出
*如果没有被完全覆盖
-就给先给左右儿子染色成当前节点的颜色 然后当前节点赋值为混合颜色=-1
-然后再递归染色左右子树
这样修改完全覆盖的区间时就可以直接修改然后退出 不用遍历子树了
而没有完全覆盖时 需要把颜色先下传给左右子树 再递归修改 保证子树颜色的正确性
这样我们访问的区间总数就降到了O(LogN)级别个 比O(N)好了不少
这个其实是一种最原始的Lazy-Tag思想
这种思想很重要 也比较难掌握 我们以后详细讨论
给出改进后的代码
1
procedure
down(x:longint);
2
begin
3
if
n[x]
>
0
4
then
begin
5
n[ls[x]]:
=
n[x];
6
n[rs[x]]:
=
n[x];
7
n[x]:
=-
1
;
8
end
;
9
end
;
1
procedure
insert(x,a,b,c:longint);
2
var
mid:longint;
3
begin
4
if
(a
<=
l[x])
and
(r[x]
<=
b)
5
then
n[x]:
=
c
6
else
begin
7
down(x);
8
mid:
=
(l[x]
+
r[x])shr
1
;
9
if
a
<
mid
then
insert(ls[x],a,b,c);
10
if
b
>
mid
then
insert(rs[x],a,b,c);
11
end
;
12
end
;
最后就是统计了
统计相对很简单 一共30种颜色 用个Simple Hash即可
这时候我们记录的混合颜色就有用了 用于判断
结构和插入差不多 不过递归的条件不再是是否有交集而是是否为空节点了
1
procedure
count(x,a,b:longint);
2
var
mid:longint;
3
begin
4
if
x
=
0
then
exit;
5
if
n[x]
>
0
6
then
inc(h[n[x]])
7
else
begin
8
mid:
=
(l[x]
+
r[x])shr
1
;
9
if
a
<
mid
then
count(ls[x],a,b);
10
if
b
>
mid
then
count(rs[x],a,b);
11
end
;
12
end
;
最后是我的AC代码
1
const
max
=
200000
;
2
var
l,r,ls,rs,n:
array
[
1
..max]
of
longint;
3
m,t,z,tt,k,i,x,y,ans:longint;
4
h:
array
[
1
..
30
]
of
longint;
5
ch:char;
6
procedure
build(a,b:longint);
7
var
x,mid:longint;
8
begin
9
inc(tt); x:
=
tt;
10
l[x]:
=
a; r[x]:
=
b;
11
if
b
-
a
>
1
12
then
begin
13
mid:
=
(a
+
b)shr
1
;
14
ls[x]:
=
tt
+
1
; build(a,mid);
15
rs[x]:
=
tt
+
1
; build(mid,b);
16
end
;
17
end
;
18
procedure
down(x:longint);
19
begin
20
if
n[x]
>
0
21
then
begin
22
n[ls[x]]:
=
n[x];
23
n[rs[x]]:
=
n[x];
24
n[x]:
=-
1
;
25
end
;
26
end
;
27
procedure
insert(x,a,b,c:longint);
28
var
mid:longint;
29
begin
30
if
(a
<=
l[x])
and
(r[x]
<=
b)
31
then
n[x]:
=
c
32
else
begin
33
down(x);
34
mid:
=
(l[x]
+
r[x])shr
1
;
35
if
a
<
mid
then
insert(ls[x],a,b,c);
36
if
b
>
mid
then
insert(rs[x],a,b,c);
37
end
;
38
end
;
39
procedure
count(x,a,b:longint);
40
var
mid:longint;
41
begin
42
if
x
=
0
then
exit;
43
if
n[x]
>
0
44
then
inc(h[n[x]])
45
else
begin
46
mid:
=
(l[x]
+
r[x])shr
1
;
47
if
a
<
mid
then
count(ls[x],a,b);
48
if
b
>
mid
then
count(rs[x],a,b);
49
end
;
50
end
;
51
begin
52
assign(input,
'
color.in
'
); reset(input);
53
assign(output,
'
color.out
'
); rewrite(output);
54
readln(m,t,k);
55
tt:
=
0
;
56
build(
0
,m);
57
n[
1
]:
=
1
;
58
while
k
>
0
do
59
begin
60
dec(k);
61
read(ch);
62
read(x,y);
63
if
ch
=
'
C
'
then
read(z);
64
readln;
65
case
ch
of
66
'
C
'
:
67
insert(
1
,x
-
1
,y,z);
68
'
P
'
:
69
begin
70
fillchar(h,sizeof(h),
0
);
71
count(
1
,x
-
1
,y);
72
ans:
=
0
;
73
for
i:
=
1
to
t
do
74
if
h[i]
>
0
then
inc(ans);
75
writeln(ans);
76
end
;
77
end
;
78
end
;
79
close(input); close(output);
80
end
.
81
这就是线段树的入门题
接下来会具体讨论线段树的另一个经典问题
求矩形并面积和周长
需要用到线段删除和维护更多的域
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