线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性

  • 参考:张宇高等数学基础30讲

文章目录

  • 1. 引入
  • 2. 向量的概念和运算
  • 3. 向量组的线性表出与线性相关
    • 3.1 基础概念
    • 3.2 线性相关、线性无关的进一步说明
  • 4. 判别线性相关性的七大定理
    • 4.1 定理1
    • 4.2 定理2
    • 4.3 定理3
    • 4.4 定理4
    • 4.5 定理5
    • 4.6 定理6
    • 4.7 定理7
  • 5. 例题
    • 5.1 利用行列式判断线性相关/无关
    • 5.2 利用定义法判断线性相关/无关
    • 5.3 分类讨论

1. 引入

  • 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算 我们提到过:矩阵是由若干行(列)向量拼成的,而且它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题,也就是这若干个向量组成的向量组中,有几个就足够代表这整个向量组(其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来)。比如向量组 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 中,向量 [2,4,6] 可以用向量 [1,2,3] 的两倍表示,因此 [2,4,6] 这个向量就是 “多余” 的,不是独立信息
  • 经过仔细排查,我们可以找出某个向量组中能够代表所有成员的一组向量,把它们组成的向量组叫做原向量组的 极大线性无关组这个组是原向量组的 “代表”。比如 [1,2,3],[6,7,9] 就是 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 的极大线性无关组。后面我们会说明,对于同一个向量组,其极大线性无关组中 “代表” 的个数是唯一的。事实上,“代表” 的个数就是独立信息的个数,这个个数就叫做向量组的秩。秩就是独立信息的个数,用这几个独立信息就能表示其他所有信息了。
  • 注意到矩阵就是由向量组拼成的,因此 矩阵的秩向量组的秩都反映了 “代表” 个数,其本质是一样的
  • 后面我们还会说明一个重要观点:向量与向量间的关系要么线性相关,要么线性无关,这种关系是 “非黑即白” 的

2. 向量的概念和运算

  • n维向量:n个数构成的一个有序数组 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] 称为一个 n n n 维向量,记作 α = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n] ααα=[a1,a2,...,an],并称 α \pmb{\alpha} αααn维行向量 α ⊤ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ \pmb{\alpha}^\top = [a_1,a_2,...,a_n]^\top ααα=[a1,a2,...,an] 称为 n维列向量,其中 a i a_i ai 称为向量 α \pmb{\alpha} ααα α ⊤ \pmb{\alpha}^\top ααα 的第 i i i分量
  • 向量的运算
    在这里插入图片描述

3. 向量组的线性表出与线性相关

3.1 基础概念

  1. 线性组合:设有 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 和 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,则向量
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 称为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合

  2. 线性表出:若向量 β \pmb{\beta} βββ 能表示成 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合,即存在 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
    β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m \pmb{\beta} = k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m βββ=k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 则称向量 β \pmb{\beta} βββ 能被 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性表出

  3. 线性相关:对 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关

  4. 线性无关:若不存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,就称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关;亦即若只有 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0 时才有 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关

3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

  1. 含有零向量或有成比例向量的向量组一定线性相关
    1. 若含有零向量,可以把零向量对应的系数 k i k_i ki 设为任意非零数,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
    2. 若有成比例向量,可以把成比例向量的系数 k i k_i ki 按比例设为正负数值,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
  2. 单个非零向量、两个不成比例向量均线性无关
    1. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
    2. 对于两个不成比例向量 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2,对于 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2 =0 k1ααα1+k2ααα2=0,有 k 1 = − k 2 α 2 / α 1 k_1 = -k_2 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 k1=k2ααα2/ααα1,若 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2 线性相关, α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 必为常数,而这代表 α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 成比例,矛盾
  3. 只有 零向量自己一个向量就能线性相关;其他 所有非零向量自己一个向量都是线性无关的
    1. 对于单个零向量,若有 k ⋅ 0 = 0 k·\pmb{0} = \pmb{0} k000=000 k k k 可取任意非零数
    2. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
  4. 向量组要么线性相关要么线性无关,二者必居其一且仅居其一
  5. 使用定义法解题:
    1. 写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0
    2. k i k_i ki 不全为0 ⇒ \Rightarrow 线性相关; k i k_i ki 全为0 ⇒ \Rightarrow 线性无关

4. 判别线性相关性的七大定理

4.1 定理1

  • 原命题向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中至少有一个向量可以由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
  • 逆否命题:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中任意一个向量不能由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
  • 原命题证明:
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第1张图片
    • ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 时,哪个系数 k i ≠ 0 k_i \neq 0 ki=0,其对应的 α i \pmb{\alpha}_i αααi 就能被其他向量线性表出

4.2 定理2

  • 若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性无关,而向量组 β , α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\beta},\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n βββ,ααα1,ααα2,...,αααn 线性相关,则 β \pmb{\beta} βββ 可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性表出,且表示法唯一
  • 证明:
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第2张图片

4.3 定理3

  • 原命题若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 t > s t > s t>s,则无论 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 是线性相关还是无关, β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 一定线性相关(以少表多,多的相关
  • 逆否命题:若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 线性无关,则 t ≤ s t\leq s ts
  • 证明原命题
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第3张图片

4.4 定理4

  • 原命题:设 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,其中
    α 1 = [ a 11 , a 21 , . . . , a n 1 ] ⊤ α 2 = [ a 12 , a 22 , . . . , a n 2 ] ⊤ … α m = [ a 1 m , a 2 m , . . . , a n m ] ⊤ \begin{aligned} &\pmb{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},...,a_{n1}]^\top\\ &\pmb{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},...,a_{n2}]^\top\\ &\dots \\ &\pmb{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},...,a_{nm}]^\top \end{aligned} ααα1=[a11,a21,...,an1]ααα2=[a12,a22,...,an2]αααm=[a1m,a2m,...,anm] 则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解,其中
    A = [ a 11 a 12 … a 1 m a 21 a 22 … a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n m ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x m ] \pmb{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\dots & a_{nm} \end{bmatrix}, \pmb{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} AAA=a11a21an1a12a22an2a1ma2manm,xxx=x1x2xm(即 A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 \pmb{Ax}= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 + ...+x_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} AxAxAx=x1ααα1+x2ααα2+...+xmαααm=000 x \pmb{x} xxx 有非零解)
  • 逆否命题:m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
  • 原命题证明
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第4张图片
  • 注:注意到矩阵 A \pmb{A} AAA 中行数(即向量维度) n n n 是方程个,列数(即向量个数) m m m 是未知数数目
    1. n < m nn<m,即方程个数小于未知数个数,线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 求解时必有自由未知量,即必有非零解。因此,任意 n + 1 n+1 n+1 n n n 维向量都是线性相关的 n n n 维空间中,任何一个线性无关向量组最多只能包含 n n n 个向量
    2. n = m n=m n=m,这时是方阵,可以引入行列式。对于 n n n n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn
      1. 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ = ∣ α 1 , α 2 , . . . , α n ∣ = 0 |\pmb{A}| = |\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n| = 0 AAA=ααα1,ααα2,...,αααn=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解
      2. 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
    3. n > m n>m n>m,这时方程个数多于未知数个数,但是方程中可能有因线性相关而冗余的方程,此时可以
      1. 化阶梯型,找出真实方程数目
      2. 使用下面的定理6 / 定理7

4.5 定理5

  • 原命题:
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第5张图片
  • 逆否命题:
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第6张图片
  • 说明:
    1. 定理5和定理4把向量组和线性方程组相联系,定理4从线性方程组角度给出了线性相关和线性无关的定义;定理5从线性方程组角度给出了线性表出的定义
    2. 这里 r ( ⋅ ) r(·) r() 代表向量组的秩,下一章再详细说明,这里简单一提:秩代表这组向量中不能被其余向量线性表出的向量的个数,当 β \pmb{\beta} βββ 可以被其他 α \pmb{\alpha} ααα 线性表出时,秩不变;不能时秩改变,其实就是增加了1

4.6 定理6

  • 原命题如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 中有一部分线性相关,则整个向量组也线性相关(部分相关,则整体相关
  • 逆否命题:如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关,则其中任意部分向量组也线性无关(整体无关,则部分无关
  • 证明原命题:不妨设 α 1 , α 2 , . . . , α j    ( j < m ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_j \space\space(jααα1,ααα2,...,αααj  (j<m) 线性相关,于是有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j k_1,k_2,...,k_j k1,k2,...,kj 使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj=000 从而有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j , 0 , . . . , 0 k_1,k_2,...,k_j,0,...,0 k1,k2,...,kj,0,...,0 使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j + 0 α j + 1 + . . . + 0 α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j + 0\pmb{\alpha}_{j+1}+...+0\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj+0αααj+1+...+0αααm=000 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 也线性相关

4.7 定理7

  • 如果一组 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性无关,那么把这些向量各任意添加 m m m 个分量后所得的新( n + m n+m n+m维)向量组 α 1 ∗ , α 2 ∗ , . . . , α s ∗ \pmb{\alpha}_1^*,\pmb{\alpha}_2^*,...,\pmb{\alpha}_s^* ααα1,ααα2,...,αααs 也线性无关;如果 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性相关,那么它们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的(原来相关,缩短相关;原来无关,延长无关。注意,延长/缩短向量等价于增加/减少方程数目

  • 线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第7张图片
  • 例:
    [ 1 2 ] 和 [ 2 3 ] 线 性 无 关 ⇒ [ 1 2 3 ] 和 [ 2 3 4 ] 线 性 无 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} 线性无关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 线性无关 [12][23]线123234线
    [ 1 2 3 ] 和 [ 2 4 6 ] 线 性 相 关 ⇒ [ 1 2 ] 和 [ 2 4 ] 线 性 相 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} 线性相关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} 线性相关 123246线[12][24]线

5. 例题

5.1 利用行列式判断线性相关/无关

  • 此题中向量个数(未知数个数) = 向量维数(方程个数),根据定理4,可以用行列式进行判断
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第8张图片

5.2 利用定义法判断线性相关/无关

  • 这个题用定义法证明线性无关。首先写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 的形式,然后分析系数是否全为0
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第9张图片

5.3 分类讨论

  • 这个题没有明确向量个数 s s s(未知数个数) 和向量维数 n n n(方程个数)间的大小关系,需要分类讨论
    线性代数(4)—— 向量与向量组的线性相关性_第10张图片
    1. s > n s>n s>n 时,未知数个数多于方程个数,一定有自由变量,有非零解, 必线性相关
    2. s = n s=n s=n 时,用行列式是否等于0判断,注意到这里是范德蒙德行列式,直接展开行列式不等于零,线性无关
    3. s < n ss<n 时,取对应齐次线性方程组靠上的 s s s 个方程,这一部分同第2点里 s = n s=n s=n 的情况,发现这部分线性无关,根据定理7,延长后的向量组一定也线性无关

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