【矩阵论】07——线性变换——线性变换的矩阵

本系列文章由Titus_1996 原创，转载请注明出处。  

文章链接：https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/83093450

本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

---

为了刻画线性变换的性质，用矩阵处理线性变换。

 

线性变换矩阵的定义

首先对Vn(F)空间中的一组基{α1，α2...，αn}，空间中任意一个向量α都可以用表示。

在对上述等式两边做变换有

又因为T(α1),T(α2)......T(αn)是像空间中的元素，由前面线性变换基础概念那篇文章中，我们知道线性变换不改变线性无关性，因此在像空间中任意一个元素T(α)都是由基{αi}的像T(αi)决定的，又因为像空间仍然是Vn(F)的子空间，所以线性变换后的像空间可以由基{α1，α2...，αn}表示：

用矩阵的形式为

最终有

称A为T在基{α1，α2...，αn}下的矩阵

 

值得注意的地方

• 在选定基的情况下，T与A是一一对应的。

 

在选定基的情况下，原像的坐标与像坐标的关系月表示

 

• 在这里分别表示了原像在线性空间选定基下的坐标，像在线性空间选定基下的坐标.

• 而上面我们得出了线性变换在特定基下的的矩阵表示，因此对原像的线性变换又可以转化为对基的变换，并且可以用基和矩阵进行表示。

• 因此我们发现了共同点：原像是用基和矩阵表示的，线性变换后的像也是由基和矩阵表示的。那么两个矩阵之间的关系就可以刻画线性变换的性质了。Y=AX就是变换在给定基下的坐标式。线性变换的运算与各自的矩阵相应的运算是对应的，具体如下：

 

同一个线性变换在不同基下矩阵之间的关系

需要注意的是，线性变换的矩阵是与空间中选定的基相联系的，选定的基改变，则同一个线性变换会有不同的矩阵。

下面我们来看一下同一个线性变换在不同基下矩阵的关系。

首先看一下同一空间的两组基之间的关系，这是在前面的线性空间基变换与坐标变换那一篇文章中提到过的。

 

再设在两组基下的线性变换的矩阵分别为A,B，则有

对上面基变换等式两边都进行T作用得

对比第二和第三的过程，发现

因此有如下定理

注意方向，从{αi}到{βi}

 

从上面的定理可知：B与A相似。即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。相反，也可以由两个相似矩阵，又已知A是T在某组基下的矩阵，则一定可找到另外一组基，使得T在该基下的矩阵为B。C就是过渡矩阵。