离散数学——基本离散结构：集合，函数，序列，和式和矩阵

离散数学——基本离散结构：集合，函数，序列，和式和矩阵

集合

集合介绍

本章，我们将学习所有离散结构的基础，集合。集合被用来组织对象。这些对象通常有相同的属性。我们先给出一些感性的定义。

定义：一个集合是一个无序容器，叫做元素或对象的集合。一个集合被说成包含它的元素。我们写法 $a\in A$ 指的是元素 $a$ 在集合 $A$ 中。我们用记号 $a\notin A$ 称作元素 $a$ 不在集合 $A$ 中。

我们通常约定大写字母表示集合，小写字母表示元素。

表示集合有很多方法，经常使用的是 列举法 ，即将集合中的元素用花括号列出来，例如 $A=\{a,b,c,d\}$ 即集合 $A$ 中含有四个元素，分别是 $a,b,c,d$ 。

有时候元素的数量可能很多，但是元素有一定的模式，此时我们就能用 $\dots$ 来表示省略，例如 $A=\{1,2,\dots ,99,100\}$ 来表示 $1$ 到 $100$ 的整数。

另外一种描述集合的方法称为 集合构造器 记号。我们描述集合元素的特征而不是列举元素。例如 $O=\{x\in Z^{+}|x\le 10\}$ 表示集合 $O$ 中包含小于等于 $10$ 的正整数。

下面的这些集合是数学中经常使用的集合。通常用黑体或者空心花体表示。

名称	解释
$\mathbb{N}$	自然数集合（此书包含 $0$ ）
$\mathbb{Z}$	整数集合
${\mathbb{Z}}^{+}$	正整数集合
$Q$	有理数集合
$Q^{+}$	正有理数集合
$R$	实数集合
$R^{+}$	正实数集合
$C$	复数集合

回想一下我们区间记号的写法：

$$\begin{array}{rl}\left[a,b\right]& =\{x|a\le x\le b\}\\ [a,b)& =\{x|a\le x<b\}\\ (a,b]& =\{x|a<x\le b\}\\ (a,b)& =\{x|a<x<b\}\end{array}$$

第一个被称为 闭区间 ，最后一个称为 开区间 。

注意数据类型或者类型的概念，在计算机科学中是基于集合的概念。也就是说，一个 数据类型 是一个集合，具有相同的操作在集合中。例如布尔类型就是 ${0,1}$ 具有两个元素的集合，集合中的元素可以进行与或非等操作。

定义：如果两个集合是是相同的，当且仅当他们有相同的元素。因此，如果 $A$ 和 $B$ 是相同的，当且仅当 $\forall x(x\in A⟺x\in B)$ 。我们写成 $A=B$ 。

有一个特殊的集合没有任何元素，被称为 空集 写作 $\varnothing$ 。用列举法表示为 $\{\}$ 。

另外一个特殊的集合是 单集 ，这个集合的元素有且只有一个。

一个常见的困惑是 $\varnothing$ 和 $\{\varnothing \}$ 的区别，我们发现，前者指的是空集，没有任何元素，后者是一个单集，有一个元素为空集。这就类比于计算机中的文件目录结构。

韦恩图

一些集合能够形象化的表示为韦恩图。在韦恩图中 全集 是指包含一切元素的集合（取决于你的研究对象），记作 $U$ ，在韦恩图中用一个矩形表示。在矩形中，其他的几何元素例如圆表示一个集合，用点来表示一个具体的元素，用重叠关系来表示集合关系。

子集

定义：集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集如果集合 $A$ 中所有的元素也在 $B$ 中。我们使用记号 $A\subseteq B$ 表示。

我们发现 $A\subseteq B$ 等价于：

$$\forall x(x\in A\to x\in B)$$

韦恩图表示为 $B$ 包含 $A$ 。

定理：对于任何集合 $S$ ， $\varnothing \subseteq S$ 并且 $S\subseteq S$ 。

这说明一个非空集合必有两个子集，一个是空子集，一个是他本身，这两个集合称为平凡子集。

当我们想强调 $A$ 是 $B$ 的一个子集但是 $A\ne B$ ，此时我们用记号 $A\subset B$ 说明 $A$ 是 $B$ 的一个 真子集 。等价于下面的命题：

$$\forall x(x\in A\to x\in B)\wedge \exists x(x\in B\wedge x\notin A)$$

如果我们想证明 $A=B$ 我们可以证明 $A\subseteq B$ 并且 $B\subseteq A$ 。

集合的大小

定义：如果集合 $S$ 有 $n$ 个不同的元素，这里 $n$ 是一个非负整数。我们说集合 $S$ 是有限集合并且 $n$ 是集合的势。集合的势被记作 $|S|$ 。

另外，集合分为有限集合和无限集合。

定义：如果一个集合不是有限集合，那么他是无限集合。

幂集

许多集合问题都和它的子集有关，我们定义幂集这个概念。

定义：给定一个集合 $S$ ，$S$ 的幂集是他所有子集的集合，记作 $\mathcal{P}(x)$ 。

如果一个集合 $S$ 有 $n$ 个元素，那么他的子集有 $2^n$ 个，它幂集的势为 $2^n$ 。

笛卡尔积

集合有的时候并不是我们想要的结构，因为他是无序的。有时候我们需要一个有序的结构，称为 $n$ 元组 。

定义：有序 $n$ 元组 $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 是一个有序集合， $a_1$ 作为第一个元素，以此类推。

我们说两个 $n$ 元组相等，当且仅当对应位置上的元素均相同。

特别的， $2$ 元组被称为 有序对 。

定义：让 $A$ 和 $B$ 是集合，两个集合的笛卡尔积 $A\times B$ 是一个所有元素都是有序对的集合：

$A\times B=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}$

我们将定义推广至 $n$ 个集合的笛卡尔积。

定义：多个集合的笛卡尔积 $A_1\times A_2\times \dots \times A_n$ 是一个所有元素都是有序对的集合：

$A_1\times A_2\times \dots \times A_n=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)|a_1\in A_1\wedge a_2\in A_2\wedge \dots \wedge a_n\in A_n\}$

我们使用记号 $A^2$ 表示运算 $A\times A$ ，同理 $A^n$ 即 $n$ 次 $A$ 的笛卡尔积。

一个 $A\times B$ 的子集 $R$ 被称为是从 $A$ 到 $B$ 的关系 。

使用集合记号和量词

有了集合，我们就可以引入集合限定域，例如 $\forall x\in S(P(x))$ 就是 $\forall x(x\in S\to P(x))$ 的简写。

对于特称量词也同理。

真值集合和量词

我们将集合和量词的关系连接起来。定义谓词 $P(x)$ 的 真值集合 $\{x\in D|P(x)\}$ 指的是所有在全域 $D$ 上使得 $P(x)$ 为真的所有元素构成的集合。

集合操作

集合操作介绍

对于两或多个集合，可以根据他们拥有元素的特征进行集合的运算。

定义：集合 $A$ 和 $B$ 的并集，记作 $A\cup B$ ，是那些在 $A$ 在 $B$ 或者在两者中的所有元素构成的集合。

集合的并集等价于：

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

用韦恩图表示为两者所有的面积。

定义：集合 $A$ 和 $B$ 的交集，记作 $A\cap B$ ，是那些既在 $A$ 又在 $B$ 中的所有元素构成的集合。

集合的并集等价于：

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

用韦恩图表示为两者重叠部分的面积。

定义：两个集合是不交的，当且仅当两个集合的交集为空集。

我们有时对两个集合并集的集合的势的大小感兴趣，注意 $|A|+|B|$ 将重叠部分的面积计算了两次，所有我们还有减去一次重叠面积，也就是：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

上面的计算方法被称为 容斥原理 。

定义：两个集合的差集 $A-B$ 是那些在 $A$ 中 但不在 $B$ 中所有元素构成的集合。也叫 $A$ 的补相对于 $B$。

$$A-B=\{x|xinA\wedge x\notin B\}$$

用韦恩图表示为用 $A$ 的面积减去 $B$ 的面积。

一旦全集 $U$ 确定，那么我们即可以定义集合 $S$ 的补集。

定义：集合 $A$ 的补集，记作 $\bar{A}$ 是 $U-A$ 。

也就是说：

$$\bar{A}=\{x\in U|x\notin A\}$$

关于补集有个重要的恒等式：

$$A-B=A\cap \bar{B}$$

集合恒等式

下面表展示了大部分的集合恒等式。

恒等式	名称
$A\cap U=A$	同一律
$A\cup \varnothing =A$	同一律
$A\cup U=U$	零律
$A\cap \varnothing =\varnothing$	零律
$A\cup A=A$	幂等律
$A\cap A=A$	幂等律
$\overline{\stackrel{ˉ}{A}}=A$	双重否定律
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$	结合律
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$	结合律
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$	分配律
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$	分配律
$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$	德摩根律
$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$	德摩根律
$A\cup (A\cap B)=A$	吸收律
$A\cap (A\cup B)=A$	吸收律
$A\cup \bar{A}=U$	互补律
$A\cap \bar{A}=\varnothing$	互补律

一些恒等式除了使用命题证明外，还可以使用 关系表 证明，关系表是类似于真值表的一个表，用 $0$ 表示元素不在集合中，用 $1$ 表示在集合中。

广义并和交

定义：一些集合的并集定义为元素至少在一个集合中。

也就是说：

$$A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$$

定义：一些集合的交集定义为元素在所有集合中。

也就是说：

$$A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n=\bigcap _{i=1}^n{A}_i$$

集合在计算机中的表示

有很多方式可以在计算机中表示集合。假设全集是有限的，我们可以用一串二进制数来表示一个集合，例如第一位表示元素 $a_1$ 在不在集合中。

此时集合的交并补，正好对应二进制运算的 AND 和 OR 和 NOT 。

函数

函数介绍

定义：让 $A$ 和 $B$ 是两个非空子集。一个函数 $f$ 是给一个确定的 $B$ 中元素给每一个 $A$ 中的元素。我们写作 $f(a)=b$ 这说明我们将 $b$ 对应给 $a$ 元素。这样的函数写作 $f:A\to B$ 。

注意，函数有时也叫 映射 或者是 变换 。

描述函数的方式有很多种，一般数学上描述函数给出函数的公式，例如 $f(x)=x+1$ ，函数也可看做是从 $A$ 到 $B$ 的关系的一种子集。如果存在 $f(a)=b$ 那么一定存在 $(a,b)$ 。

定义：如果函数 $f:A\to B$ 那么我们称 $A$ 是函数的域， $B$ 是函数的陪域。如果 $f(a)=b$ 我们称 $b$ 是 $a$ 的像，而 $b$ 是原像。函数 $f$ 的像或是值域指的是所有 $A$ 中元素的像的集合。同时，我们也说是 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射。

注意，两个函数相等当且仅当两个函数的域，陪域以及映射关系相同。当我们改变任意一个要素，我们得到是两个不同的函数。

一个函数称为 实值的 如果它的陪域是实数的集合，如果是 整值的 如果它的陪域是整数的集合，两个实值或是整值函数可以相加或者相乘。

定义：让 $f_1$ 和 $f_2$ 是两个 $A\to R$ 的函数。此时 $f_1+f_2$ 和 $f_1{f}_2$ 仍是 $A\to R$ 的函数，分别为 $(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 和 $(f_1{f}_2)(x)=f_1(x)f_2(x)$ 。

如果函数 $f:A\to B$ 那么 $A$ 子集的像也就能定义。

定义：如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，让 $S$ 是集合 $A$ 的子集。子集 $S$ 在 $f$ 下的像是一个 $B$ 的子集，包含每一 $S$ 中元素的像，记作 $f(S)$ ，所以：

$f(S)=\{t|\exists s\in S(t=f(s))\}$ 。

有时简记为 $\{f(s)|s\in S\}$ 。

注意，写法 $f(S)$ 是具有歧义的，可能是集合的像，也可能是集合的映射，出现歧义时要具体说明。

一对一和满射函数

有时我们不会给两个不同域元素分配同样的值，这叫做 一对一函数 。

定义：如果函数是一对一函数或者是单射函数，当且仅当对于所有的 $f(a)=f(b)$ 都有 $a=b$ 。

我们给出单射函数的一些条件。

定义：一个域和陪域都是实数集合的函数 $f$ 是单调递增的，当且仅当对于所有$x<y$ 都有 $f(x)\le f(y)$ ，是严格单调递增的如果 $f(x)<f(y)$ 。单调递减也同理。

显然，一个严格单调递增函数或严格单调递减函数都是一个一对一函数。

有时，一个函数的陪域和值域相同，此时我们称这个函数是 满射函数 。

定义：如果一个函数是满射函数，当且仅当对于陪域中的任意一个元素 $b$ 都能在域中找到元素 $a$ 使得 $f(a)=b$ 。

如果函数同时具有单射和满射的性质，我们称这个函数是一个 双射函数 。

定义：如果函数同时具有单射和满射的性质，我们称这个函数是一个双射函数，也称为是一一对应函数。

反函数和复合函数

考虑一个一一对应函数，这个函数是满射的因此所有陪域中的元素都能找到一个原像对应，又因为是单射函数，所以原像是唯一的，那么反过来的关系也一定是函数。

定义： $f$ 是一个一一对应函数，如果存在 $f(a)=b$ 那它的反函数就存在 $f^{-1}(b)=a$ 。

注意写法 $f^{-1}$ 并不是指倒数。

有时也称反函数为 可逆 函数。

定义：函数 $g$ 是 $A$ 到 $B$ 的函数，函数 $f$ 是 $B$ 到 $C$ 的函数，这两个函数的复合函数记作 $(f\circ g)(a)=f(g(a))$ 。

也就是说，复合函数相当于是作用两次的函数，此时 $g$ 的值域必须是 $f$ 域的子集。

如果函数 $f$ 存在反函数，那么 $(f^{-1}\circ f)(a)={\iota }_A(a)=a$ 并且 $(f\circ f^{-1})(b)={\iota }_B(b)=b$ 。

函数的图

我们可以用 $A\times B$ 的子集来描述任何从 $A$ 到 $B$ 的函数。

定义：让 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数。函数 $f$ 的图是有序对集合 $\{(a,b)|a\in A\wedge f(a)=b\}$ 。

一些重要的函数

定义：底函数 $\lfloor x\rfloor$ 是不大于 $x$ 的最大整数，顶函数 $\lceil x\rceil$ 是不小于 $x$ 的最小整数。

另外一个重要的函数是 阶乘函数 。

这些在具体数学中会具体讲解，因此不在赘述。

部分函数

定义：如果函数 $f$ 只在域 $A$ 的子集下有定义，这个子集叫做定义域，此时函数被称为部分函数，如果定义域等于域，那么称为全函数。

部分函数的定义是为了更好的描述一些特殊函数的反函数，例如 $\sqrt{x}$ 就是一个部分函数。因为在负整数部分没有定义。

序列和和式

序列和和式的介绍

序列是一些元素的有序列表，在一些离散问题上具有重要的作用，通常用于计数，而计数的基础是和式的计算，因此本章讲解序列和和式。

序列

序列是一些元素的有序列表，例如 $1,3,5,7,9$ 是一个有限序列，而 $1,3,9,\dots ,3^n$ 则是一个无限序列。

定义：一个序列是一个域为整数（通常是 $\{0,1,2,3,\dots \}$ 或者是 $\{1,2,3,\dots \}$ ）的函数，我们记作 $a_n$ 是 $n$ 的像。我们将一系列的 $a_n$ 叫做是序列。

我们用 $\{a_n\}$ 这个序列来记作一个序列。

有限序列有时也称为是 串 ，串的长度是有限序列的长度，空串记为 $\lambda$ 。

递归关系

定义：用 $a_n$ 的前项（ $\{a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}\}$ ）描述 $a_n$ 的方式称为递归描述。一个序列称为解，如果这个序列满足这个递归描述。

初始条件 指的是能开始递归的极小前几项，也就是说，确定了初始条件，那么就唯一的确定了其一个解。

如果我们找到了一个具有初始条件的迭代公式，我们称这个公式是其递归描述的一个 封闭公式 。

进一步展开将在具体数学系列笔记中说明，此处不在赘述。

如果想查询一个序列，可以访问 OEIS (On-Line
Encyclopedia of Integer Sequences) 数据库。

和式

接下来，我们讨论序列的和式，我们引入 和式记号 ，假设我们有序列：

$$a_m,a_{m+1},\dots ,a_n$$

将这些序列元素相加，我们记为：

$$\sum _{j=m}^n{a}_j=a_m+a_{m+1}+\dots +a_n$$

这里， $j$ 称为 和式索引 通常使用字母 $i,j,k$ 来表示。 $m$ 称为和式的 下限 $n$ 称为和式的 上限 。

定理：如果 $a$ 和 $r$ 都是实数且 $r$ 不等于 $0$ ，那么：

${\sum }_{j=0}^{n}a{r}^j=\frac{a{r}^{n+1}-a}{r-1}$ 如果 $r\ne 1$

${\sum }_{j=0}^{n}a{r}^j=(n+1)a$ 如果 $r=1$

和式也是可以嵌套的，例如：

$$\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^{3}ij$$

处理嵌套和式我们从内部到外部处理，遇见外部变量当做为常量。

对于集合和式：

$$\sum _{s\in S}f(s)$$

的意思是对所有 $f(s)$ 求和，其中 $s$ 是集合 $S$ 中的所有元素。

无限和式也称为 级数 ，处理级数可能需要一些微积分的知识。

进一步展开将在具体数学系列笔记中说明，此处不在赘述。

下面给出常用的和式表：

和式	封闭形式
${\sum }_{k=0}^{n}a{r}^k(r\ne 0)$	$\frac{a{r}^{n+1}-a}{r-1}$
${\sum }_{k=1}^{n}k$	$\frac{n(n+1)}{2}$
${\sum }_{k=1}^n{k}^2$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
${\sum }_{k=1}^n{k}^3$	$\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$
${\sum }_{k=0}^{\infty }{x}^k,abs(x)<1$	$\frac{1}{1-x}$
${\sum }_{k=1}^{\infty }k{x}^{k-1},abs(x)<1$	$\frac{1}{(1-x{)}^2}$

集合的势

在上一章我们介绍了有限集合的势就是集合元素的个数，本章介绍无限集合的势，以及等势，比较两个无限集合势大小的方法。

定义：如果两个集合 $A$ 和 $B$ 是等势的，当且仅当存在一个从 $A$ 到 $B$ （或从 $B$ 到 $A$ ）的双射函数。我们说这两个集合是等势的，记作 $|A|=|B|$ 。

对于集合势的定义，我们并不是直接测量集合的大小，而是通过相对的方法比较两个集合的势的大小关系。同理，集合势的大小也存在大小关系。

定义：如果存在从 $A$ 到 $B$ 的单射函数，我们说 $A$ 的势小于等于 $B$ ，写作 $|A|\le |B|$ 。进一步，如果 $A$ 和 $B$ 不等势，那么我们说 $A$ 的势小于 $B$ ，写作 $|A|<|B|$ 。

可数集合

我们将无限集合分成两类，一类和自然数集等势，另一类不等势。

定义：如果集合是有限的或者无限的但和正整数集合等势，那么这个集合叫做可数集合，否则叫做不可数集合。我们将可数集合的势记作 ${\aleph }_0$ （读作阿列夫零），同时记作 $|A|={\aleph }_0$ 。

可数集合一个重要的特征是能够列举成序列的形式，因为序列的索引和正整数集是一一对应的。

根据可数集的定义，我们显然知道，整数集是可数集，但更重要的是，有理数集同样是可数集。

有理数可以写作是 $p/q$ 的形式，那么我们让 $p$ 作为列标，而 $q$ 作为行标，这样就有了一个无限大的方格，我们以斜对角线的方式遍历这个无限大的方格，得到一个无限序列，因此有理数集同样是可数集。

不可数集

我们已经知道了可数集的定义和例子，对于不可数集的讨论，实数集就是经典是不可数集合。我们使用著名的 康托对角线证明 。

为了证明实数集是不可数集合，我们先假设实数集是可数集合，那么 $[0,1]$ 内的实数集同样可数，因为可数集的子集一定是可数集。

现在让我们列举 $[0,1]$ 内的实数。

$$\begin{array}{rl}{r}_1& =0.d_{11}{d}_{12}{d}_{13}\dots \\ r_2& =0.d_{21}{d}_{22}{d}_{23}\dots \\ r_3& =0.d_{31}{d}_{32}{d}_{33}\dots \\ ⋮& \end{array}$$

这里 $d_{ij}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，根据上述列举的实数，我们能够构造出一个新的实数，即 $r=0.d_1{d}_2{d}_3\dots$

$$d_i=\{\begin{array}{llc}4& \text{if}& d_{ii}\ne 4\\ 5& \text{if}& d_{ii}=4\end{array}$$

易知，在枚举的$r_i$ 中没有一个是和 $r$ 相同的，也就是说实数是无法枚举出来的，所以实数集不是可数集。

现在我们讨论一下关于可数集的一些定理。

定理：如果 $A$ 和 $B$ 是可数集，那么 $A\cup B$ 也同样是可数集。

我们可以通过 $a_1,b_1,a_2,b_2,\dots$ 进行交替枚举，因此可数集的并集也是可数集。

定理：（Cantor-Bernstein-Schroeder Theorem）是集合论基本定理。如果 $|A|\le |B|$ 并且 $|B|\le |A|$ 那么 $|A|=|B|$ 。换句话说，如果同时存在从 $A$ 到 $B$ 和从 $B$ 到 $A$ 的单射函数，那么必定存在两个集合直接的双射函数。

尽管这个定理阐述的十分简单，但是证明起来却十分困难，读者可查阅相关资料。

现在我们讨论一下在计算机中的应用，那即是存在不可计算函数，指在任何计算机中都不能被计算的函数。

定义：我们说一个函数是 可计算的 ，当且仅当存在计算机和编程语言能够找到他的值，否则是 不可计算的 。

很显然，一定存在不可计算的函数，举例来说，一个计算$[0,1]$内所有实数的和是一个不可计算函数。

我们用一个更高级的理论结束本章。能够证明， ${\mathbb{Z}}^{+}$ 的幂集和 $\mathbb{R}$ 等势，也就是说 $|\mathcal{P}({\mathbb{Z}}^{+})|=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$ 其中 $\mathfrak{c}$ 是实数集的势。

另外一个著名的结论，说明集合的势小于他幂集的势，因此 $|{\mathbb{Z}}^{+}|<|\mathcal{P}({\mathbb{Z}}^{+})|$ ，我们可以写作 ${\aleph }_0<2^{{\aleph }_0}$ 其中 $2^{|S|}$ 指的是集合 $S$ 幂集的势。因此 $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 。

这引出著名的 连续性假设 ，这个假设断言不存在一个势数大于 ${\aleph }_0$ 并小于 $\mathfrak{c}$ 。能够证明，最小的无限势数形成一个无限的序列 ${\aleph }_0<{\aleph }_1<{\aleph }_2<\dots$ ，如果这个假设是真的，那么 $\mathfrak{c}={\aleph }_1=2^{{\aleph }_0}$ 。

矩阵

矩阵介绍

矩阵用于表示离散数学中元素在集合中的关系，在一下几个小节中将介绍矩阵的几个模型，例如，矩阵的通讯网络和传输系统模型。

定义：一个矩阵是一个矩形的数的数组，一个有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵称为 $m\times n$ 矩阵。有相同的行数和列数的矩阵叫做方阵。两个矩阵相等，如果两个矩阵的行数和列数相同，并且对于位置上的元素也相同。

我们约定加粗的大写字母代表矩阵。

定义：矩阵的第 $i$ 行是一个 $1\times n$ 矩阵，矩阵的第 $i$ 列是一个 $m\times 1$ 矩阵，我们将第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记为 $a_{ij}$ 。

矩阵算数

定义：矩阵的加法是对应位置上的元素相加，只有行数和列数相同的矩阵才能相加。

更重要的运算是矩阵的乘法。

定义：让 $\text{A}$ 是一个 $m\times k$ 矩阵，让 $$\text{B}$ 是一个 $k\times n$ 矩阵，两个矩阵相乘的结果 $\text{C}=\text{A}\text{B}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，记作 $c_{ij}={\sum }_{p=1}^k{a}_{ip}{b}_{pj}$ 。

更详细的知识参考线性代数系列笔记。

矩阵的转置和幂

定义：单位矩阵是一个 $n\times n$ 的方阵，其中主对角线上都是 $1$ 其他位置都是 $0$ ，记作 ${\text{I}}_n$ 。

单位矩阵和任何矩阵相乘都等于矩阵本身。

定义： ${\text{A}}^n$ 表示矩阵和自身相乘 $n$ 次。特别的 ${\text{A}}^0={\text{I}}_n$ 。

最后一个是矩阵的转置。

定义： 矩阵 $\text{A}$ 的转置记作 ${\text{A}}^t$ 并且 $a_{ij}^t=a_{ji}$ 。

我们发现矩阵的转置的行数和列数正好和原矩阵相反。

特别的，一个矩阵是对称的，当且仅当它的转置和它本身相等。

零一矩阵

在离散数学中，矩阵重要的一个模型就是零一矩阵。即一个矩阵的元素要么是 $0$ 要么是 $1$ 。零一矩阵不同于一般的矩阵，因为他有布尔代数的性质，现在引出布尔代数算子。

$$b_1\wedge b_2=\{\begin{array}{ll}1& b_1=b_2=1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

$$b_1\vee b_2=\{\begin{array}{ll}1& b_1=1\vee b_2=1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

定义：两个矩阵的并记作 $\text{A}\vee \text{B}$ 元素为对应元素进行 $\vee$ 运算，两个矩阵的交写作 $\text{A}\wedge \text{B}$ 元素为对应元素进行 $\wedge$ 运算。

现在我们定义两个矩阵的 布尔积 。

定义：让 $\text{A}$ 是一个 $m\times k$ 矩阵，让 $$\text{B}$ 是一个 $k\times n$ 矩阵，两个矩阵布尔积的结果 $\text{C}=\text{A}\odot \text{B}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，记作 $c_{ij}=(a_{i1}\wedge b_{1j})\vee (a_{i2}\wedge b_{2j})\vee \dots \vee (a_{ik}\wedge b_{kj})$ 。

零一矩阵的布尔积就是矩阵相乘的离散模拟。用交代替称号，用并代替加号。

同样，我们定义幂运算。

定义： ${\text{A}}^{[n]}$ 表示矩阵和自身做布尔积 $n$ 次。特别的 ${\text{A}}^0={\text{I}}_n$ 。