Python实现卡方检验和相关性分析

目录

卡方检验

 卡方检验的statsmodels实现

 配对卡方检验

 相关分析(关联性分析)概述

相关系数的计算原理 

 相关分析的Python实现


卡方检验

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 卡方检验的主要用途

  • 两个率或两个构成比比较的卡方检验
  • 多个率或多个构成比比较的卡方检验
  • 分类资料的相关分析

卡方检验的基本原理

H0 :观察频数与期望频数没有差别

其原理为考察基于H0的理论频数分布和实际频数分布间的差异大 小,据此求出相应的P值

案例: 所有受访家庭会按照家庭年收入被分为低收入家庭和高收入家 庭两类,现希望考察不同收入级别的家庭其轿车拥有率是否相同。

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 基于H0成立,即观察频数和期望频数无差别,也就是两组变量 (家庭收入级别与是否拥有轿车)相互不产生影响,两组变量不相 关,如果检验P值很高,则接受H0;如果检验P值很低,则检验不通 过,观察频数和期望频数有差别,两组变量相关。

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 卡方统计量

卡方统计量的计算公式:

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 其中A为实际频数,E为期望频数(理论频数)。

卡方统计量的理解:

  • 当观察频数与期望频数完全一致时,卡方值为0
  • 观察频数与期望频数越接近,两者之间的差异越小,卡方值越小
  • 观察频数与期望频数差异越大,卡方值越大
  • 卡方值的大小也和自由度有关

 卡方检验的statsmodels实现

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 案例: 所有受访家庭会按照家庭年收入被分为低收入家庭和高收入家 庭两类,现希望考察不同收入级别的家庭其轿车拥有率是否相同。

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 statsmodels中首先需要建立对应的列联表对象:

Table类的方法: test_nominal_association() 无序分类行、列变量的独立性检验

import pandas as pd
import statsmodels.stats.contingency_tables as tbl
# 读取excel文件
home = pd.read_excel("home_income.xlsx")
# 考察不同收入级别的家庭其轿车拥有率是否相同
table = tbl.Table(pd.crosstab(home.Ts9,home.O1))
res = table.test_nominal_association()  # 卡方检验
print("卡方值:",res.statistic)
print("自由度:",res.df)
print("p值:",res.pvalue)  # 格式化后的p值

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 配对卡方检验

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 McNemar's检验(配对卡方检验)用于分析两个相关率的变化是否 有统计学意义

 案例: 用A、B两种方法检查已确诊的某种疾病患者140名,A法检出91 名(65%),B法检出77名(55%),A、B两法一致的检出56名(40%), 问哪种方法阳性检出率更高?

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 分析思路:

  • H0 :两种方法阳性检出率无差别,即b单元格=c单元格
  • 对同一个体,分别有两次不同的测量,并最终构成了两组数据, 因此研究框架是自身配对设计
  • 求出各对的差值,然后考察样本中差值的分布是否按照H0假设 的情况对称分布
  • 主对角线上的样本,两种检验方法的结论相同
  • 非主对角线上的单元格才携带检验方法的差异信息
  • 根据H0得到b、c两格的理论数均为(b+c)/2,对应的配对检验统计 量,经过化简后是:

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 一般在 b + c < 40 时,需用确切概率法进行检验,或者进行校正

代码实现

statsmodels.stats.contingency_tables中常用的配对卡方的分析使用:

  • 1 tbl.SquareTable 用于分析行列变量类别相同的对称结构方表 (近似结果)
  • 2 tbl.mcnemar 用于分析配对四格表(确切概率结果)

用SquareTable类分析 

import numpy as np
import statsmodels.stats.contingency_tables as tbl
table = tbl.SquareTable(np.array([[56,35],[21,28]]))
print(table.summary())  # 查看汇总结果
print(table.symmetry())  # 只查看配对卡方检验的结果

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 用mcnemar类分析

table = tbl.mcnemar(pd.DataFrame([[56,35],[21,28]]))
table.pvalue  # 确切概率结果

 相关分析(关联性分析)概述

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 什么是相关分析(关联性分析)

相关分析是用于考察变量间数量关系密切程度的分析方法,例如: 身高与体重的关系。

几乎所有涉及到多个变量的假设检验方法,都可以被看作是这些变 量间的关联性分析。

  • t检验:分组变量与连续因变量间的关联性分析
  • 卡方检验:行、列分类变量间的关联性分析
  • 聚类分析:案例(case)间的关联性分析
  • 多变量回归:因变量和一组自变量间的关联性分析

 各种相关系数

  • 连续 vs 连续:Pearson相关系数(双变量正态分布); Spearman秩相关系数(不符合双变量正态分布)
  • 有序 vs 有序:Gamma系数、肯德尔相关系数等(例如:医生 级别与治疗效果的相关关系);也可使用Spearman秩相关系数
  • 无序 vs 无序:列联系数等(例如:民族与职业的关系)
    • 基于卡方统计量进一步推导而来
    • 无方向 0~1
    • OR/RR:一类特殊的关联强度指标
  • 连续 vs 分类:Eta(本质上是方差解释度,即连续变量的离散度 有多少可以被另外的分类指标所解释)

 统计图/统计表在相关分析中的重要性

  • 连续变量:用散点图先确认关联趋势是否为直线
  • 分类变量:分组条图、马赛克图(分组百分条图)等工具

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相关系数的计算原理 

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 常用术语(针对两连续变量的相关)

  • 直线相关:两变量呈线性共同增大,或者呈线性一增一减的情况
  • 曲线相关:两变量存在相关趋势,但是为各种可能的曲线趋势
  • 正相关与负相关:如果A变量增加时B变量也增加,则为正相 关,如果A变量增加时B变量减小,则为负相关
  • 完全相关:完全正相关;完全负相关
  • 零相关:自变量的变化,不会影响因变量的变化

 Pearson相关系数

  • 计算公式

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 公式理解:标准差代表变量的离散程度(信息量大小); 协方差Cov(X,Y)代表各变量共同携带的信息量大 小; 相关系数代表两个变量总信息量中的共同部分占比。

  • 相关系数ρ的取值范围:-1 < ρ < 1
    • 其正负反映了相关的方向
    • |ρ|越接近于1,说明相关性越好
    • |ρ|越接近于0,说明相关性越差
  • Pearson相关系数的检验:
    • H0 :两变量间无直线相关关系,ρ=0
    • 检验方法:t检验
  • Pearson相关系数的适用条件:
    • 必须是线性相关的情形(可以先绘制散点图观察一下)
    • 针对两连续变量的相关系数
    • 极端值对相关系数的计算影响极大,因此要慎重考虑和使用
    • 要求相应的变量呈双变量正态分布(近似也可以) 

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Spearman秩相关系数

  • 不服从正态分布的变量、分类或等级变量之间的关联性可采用
  • Spearman秩相关系数 Spearman提出首先对数据做秩变换,然后再计算两组秩间的直 线相关系数(秩变换分析思想) 

 相关分析的Python实现

相关分析作为比较简单的方法,在statsmodels中并未作进一步 的完善,因此主要使用scipy实现。

  • 两个连续变量,且符合双变量正态分布:Pearson相关系数
scipy.stats.pearsonr(a, b)
  • 两个连续变量,不符合双变量正态分布:Spearman秩相关系数
scipy.stats.spearmanr(a, b)
  • 两个有序变量:Kendall's Tau;Spearman秩相关系数
scipy.stats.kendalltau(a, b) # 肯德尔相关系数
scipy.stats.spearmanr(a, b) # 斯皮尔曼秩相关系数
import pandas as pd
from scipy import stats as ss
home = pd.read_excel("home_income.xlsx")  # 读取excel文件
# 考察年龄(s3)与总信心指数(index1)间的相关关系
# 先通过散点图,观察两个变量是否为线性关系
home.plot.scatter("s3","index1")
# 年龄分组,重新观察两个变量是否为线性关系
home.groupby("s3").index1.mean().plot()
# 返回皮尔逊相关系数和p值
ss.pearsonr(home.s3,home.index1)

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