《统计学习方法》 第三章 K近邻法(原理+代码)

$K$近邻法

$k$近邻法是基本且简单的分类与回归方法

$k$近邻法的基本做法是:

1. 对给定的训练实例点和输入实例点，首先确定输入实例点的$k$个最近邻训练实例点
2. 利用这$k$个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类

$k$近邻模型是对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分

$k$近邻法中，当训练集、距离度量、$k$值及分类决策规则确定后，其结果唯一确定

$k$近邻法三要素：距离度量、$k$值的选择和分类决策规则

常用的距离度量是欧氏距离及更一般的pL距离

$k$值小时，$k$近邻模型更复杂；$k$值大时，$k$近邻模型更简单。

$k$值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡，通常由交叉验证选择最优的$k$

常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验风险最小化

$k$近邻法的实现需要考虑如何快速搜索k个最近邻点

kd树是一种便于对k维空间中的数据进行快速检索的数据结构

kd树是二叉树，表示对$k$维空间的一个划分，其每个结点对应于$k$维空间划分中的一个超矩形区域

利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索， 从而减少搜索的计算量

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$K$近邻法公式

设特征空间$x$是$n$维实数向量空间

$x_i,x_j\in \mathcal{X}$

$x_i={\left(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(n)}\right)}^{\mathrm{T}}$

$x_j={\left(x_j^{(1)},x_j^{(2)},\cdots ,x_j^{(n)}\right)}^{\mathrm{T}}$

$x_i$,$x_j$的$L_p$距离定义为

$L_p\left(x_i,x_j\right)={\left({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i^{(i)}-x_j^{(l)}\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$

其中

• $p=1$ 曼哈顿距离
• $p=2$ 欧氏距离
• $p=\infty$ 切比雪夫距离

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$K$近邻法代码实现

import math
from itertools import combinations

def L(x, y, p=2):
    # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
        sum = 0
        for i in range(len(x)):
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
        return math.pow(sum, 1 / p)
    else:
        return 0

遍历所有数据点，找出$n$个距离最近的点的分类情况，少数服从多数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 临近点个数
        parameter: p 距离度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, X):
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))

        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])

        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
        max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
        return max_count

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)

clf = KNN(X_train, y_train)
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

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$kd$树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构

kd树是二叉树，表示对$k$维空间的一个划分（partition）

构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将$k$维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。

kd树的每个结点对应于一个$k$维超矩形区域。

构造kd树的方法如下

• 构造根结点，使根结点对应于$k$维空间中包含所有实例点的超矩形区域
• 通过下面的递归方法，不断地对$k$维空间进行切分，生成子结点
• 在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面
• 这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域 （子结点）
• 这时，实例被分到两个子区域
• 这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）
• 在此过程中，将实例保存在相应的结点上

通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数 （median）为切分点

这样得到的$kd$树是平衡的。注意，平衡的$kd$树搜索时的效率未必是最优的。

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构造平衡$kd$树算法

输入：

$k$维空间数据集$T＝\{x_1，x_2,\dots ,x_N\}$

其中$x_i={\left(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(k)}\right)}^{\mathrm{T}}$ ，$i＝1,2,\dots ,N$

输出： kd树

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开始：

构造根结点，根结点对应于包含$T$的$k$维空间的超矩形区域

选择$x^{(1)}$为坐标轴，以T中所有实例的$x^{(1)}$坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域

切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(1)}$垂直的超平面实现

由根结点生成深度为1的左、右子结点：左子结点对应坐标$x^{(1)}$小于切分点的子区域

右子结点对应于坐标$x^{(1)}$大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在根结点

重复：

对深度为$j$的结点，选择$x^{(1)}$为切分的坐标轴，$l＝j(modk)+1$

以该结点的区域中所有实例的$x^{(1)}$坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域

切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(1)}$垂直的超平面实现

由该结点生成深度为$j+1$的左、右子结点：

左子结点对应坐标$x^{(1)}$小于切分点的子区域，右子结点对应坐标$x^{(1)}$大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在该结点

停止:

直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成$kd$树的区域划分。

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代码实现

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split  # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left  # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right  # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree


class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度

        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]  # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k  # cycle coordinates

            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),  # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树

        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
                    "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")


def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度

    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"),
                          0)  # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷

        nodes_visited = 1

        s = kd_node.split  # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”

        if target[s] <= pivot[s]:  # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left

        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域

        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist  # 更新最近距离

        nodes_visited += temp1.nodes_visited

        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内

        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))

        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot  # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径

        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)

        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离

        return result(nearest, dist, nodes_visited)

    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归