问题表述:八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题:如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后,使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后?为了达到此目的,任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题:这时棋盘的大小变为n×n,而皇后个数也变成n。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解。
为了研究八皇后问题 我们先研究一个最简单的n=4的时候的四皇后问题
下面为四皇后问题图解:
由图中可以看出,如果将四皇后问题的推进每一个皇后落点的状态串在一起,可以看出,这其实就是一颗状态树,而四皇后问题的结果也存在于树的叶子结点,所以可以进行深度优先遍历这棵树,在叶子结点中查找四皇后的解,类似也可以得出八皇后问题的解法
下面进行八皇后问题的分析:
当一个皇后占位为(x,y)时,在其水平方向,垂直方向和两个对角线方向上都不可以在放其余的皇后。如果每行只放一个皇后,则水平方向就不需要考虑了,只需要考虑其他三个方向。
坐标图:
水平方向的直线方程是“y=常量”,垂直方向的直线是“x=常量”,两个对角线方向的直线方法分别是“x-y=常量”和“x+y=常量”
用三个一维数组A,B,C记录皇后占位(x,y),称为状态数组。使其初始值为0。表示棋盘上还没有皇后。如果有一个皇后占位(x,y),令A[x]=B[x+y]=C[x-y]=1(不一定非得是1,只是与0不同表示当前位置被皇后占领)。 下一个皇后能否占位(x',y')的前提是A[x']=B[x'+y']=C[x'-y']=0(必须是同时为0)
作为下标数组,x,y的取值为0~7,所以x+y的取值为0~14,x-y的取值为-7~7,由于数组的下标不能为负数,所以我们等价的转换成每个下标都+7,即A[x+7],B[x+y+7],C[x-y+7],这样可以保证数组的下标不出现负数。所以最大的范围为14+7=21,所以ABC三个状态数组开辟空间大小为A[22],B[22],C[22]
具体实现:深度优先遍历状态树,查找叶子,用长度为8的一维数组H,逐行记录皇后的占位,即H[y]=x;表示皇后占位为(x,y),y从0开始一直到7,当y=8时说明一次深度遍历已经到最底层,得到叶子,也就是八皇后问题的一种解
八皇后问题代码实现:
void Queen(int y = 0)
{
static int A[22], B[22], C[22], H[8]; // 0~21有22个长度 静态数据类型使得递归时能够用的是同一个状态数组
if (y < 0 || y > 8)
{
return;
} // y错误
if (y == 8) //递归结束条件
{
OutPut(H, 8); //输出解
}
for (int x = 0; x < 8; x++)
{
if (!A[x + 7] && !B[x + y + 7] && !C[x - y + 7])
{
H[y] = x; //皇后占位(x,y)
A[x + 7] = B[x + y + 7] = C[x - y + 7] = 1; //状态更新表示被占位
Queen(y + 1); //带着当前一行已经有皇后的情况进行下一层的递归
A[x + 7] = B[x + y + 7] = C[x - y + 7] = 0; //状态回溯 回到上一行的时候状态要重新置为0 表示这一行还没有皇后占位
}
}
}
template
void OutPut(const T* p,int n)
{
static int total=1;
for(int y=0;y
八皇后问题一次深度得到解的过程示意:
处理完八皇后问题,n皇后问题也不在话下了,记住n>=4
n皇后问题分析:
n皇后问题解法:
void Queen(int* A,int* B,int* C,int* H,int n,int y=0)//A,B,C,H与八皇后问题性质一样 n表示n*n的棋盘
{
if(y<0||y>n){return;}
if(y==n)//递归返回条件
{
OutPut(H,n);
return;
}
for(int x=0;x
main函数内容:(包括运行结果截图)
#include
using namespace std;
//n皇后问题的求解
template
void OutPut(const T* p,int n)
{
static int total=1;
for(int y=0;yn){return;}
if(y==n)//递归返回条件
{
OutPut(H,n);
return;
}
for(int x=0;x>n;
int *A=(int*)calloc(3*n-2,sizeof(int));//使用calloc函数可以使A,B,C,D,H所有值都为0
int *B=(int*)calloc(3*n-2,sizeof(int));
int *C=(int*)calloc(3*n-2,sizeof(int));
int *H=(int*)calloc(n,sizeof(int));
cout<
(五皇后问题有十种解法)