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SVD分解示例

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对矩阵A进行SVD分解的公式：A_{m*n}=U\Sigma V^T。其中A可以不是方阵，U_{m*m}是左奇异矩阵，V_{n*n}是右奇异矩阵。其中V是A^TA的特征向量（注意公式中V有个转置操作），U是AA^T的特征向量。\Sigma_{m*n}是对角阵，对角元素是U、V的共同特征值，例如有三个特征值时：\Sigma =[[\lambda_{1},0,0],[0,\lambda_{2},0],[0,0,\lambda_{3}]]。

举个简单的例子，对矩阵A进行SVD分解：

A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}

A^TA=\begin{bmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}

AA^T = \begin{bmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{bmatrix}

从而得到A^TA的特征值和特征向量(v_{1},v_{2})，右奇异矩阵V=[v_{1},v_{2}]，V^T=[v_{1},v_{2}]^T：

\lambda_{1}=3;v_{1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}; \lambda_{2}=1;v_{2}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

同时得到AA^T的特征值和特征向量(u_{1},u_{2},u_{3})，左奇异矩阵U=[u_{1},u_{2},u_{3}]：

\lambda_{1}=3;u_{1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}; \lambda_{2}=1;u_{2}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}; \lambda_{3}=1;u_{3}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix};

因此奇异值：\alpha_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}=\sqrt{3};\alpha_{2}=\sqrt{\lambda_{2}}=1

所以对角阵\Sigma_{m*n}= \begin{bmatrix}\sigma_{1}&0\\0&\sigma_{2}\\0&0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\sqrt{3}&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}

至此左奇异矩阵 U_{m*m}，右奇异矩阵V_{n*n}和对角阵\Sigma_{m*n}都凑齐了，A_{m*n}=U\Sigma V^T即为： 

A_{m*n}=U\Sigma V^T=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}&0&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt{3}&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

另外：生成多元具有相关性的随机变量时，也可以使用SVD分解法，详见：多元相关随机变量的生成。

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      JSON库   在进行数据传输时JSON格式目前应用广泛，因此从Lua对象与JSON字符串之间相互转换是一个非常常见的功能；目前Lua也有几个JSON库，本人用过cjson、dkjson。其中cjson的语法严格（比如unicode \u0020\u7eaf），要求符合规范否则会解析失败（如\u002），而dkjson相对宽松，当然也可以通过修改cjson的源码来完成
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  • Linux下df与du两个命令的差别？ pda158 linux
    　一、df显示文件系统的使用情况，与du比較，就是更全盘化。 　　最经常使用的就是 df -T，显示文件系统的使用情况并显示文件系统的类型。 　　举比例如以下： 　　[root@localhost ~]# df -T 　　Filesystem                   Type &n
  • [转]SQLite的工具类 ---- 通过反射把Cursor封装到VO对象 ctfzh VOandroidsqlite反射Cursor
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