【机器学习线性代数】02 初识矩阵：让向量动起来

1.矩阵？一排向量，一堆数

介绍完了向量，这一节我们开始介绍矩阵。对于矩阵而言，最直观的描述就是一个$m\times n$大小的数字方阵，他可以看作是$n$个$m$维列向量从左到右并排摆放，也可以看成是$m$个$n$维行向量从上到下进行叠放。

我们举一个实际的例子：一个$2\times 3$的矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0.4& -4& 2\end{array}\right]$：

显而易见，他有$2$行$3$列，一共$6$个元素，每一个元素都对应矩阵中的一个数据项，例如第一行第二列的项是$2$，我们也可以表示为$A_{12}=2$。

那如果我们想使用Python语言来表示上面这个矩阵，也是非常简单的。可以使用$NumPy$中的嵌套数组来完成，这个矩阵本质上被表示成了一个二维数组：

代码片段：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], 
              [0.4, -4, 2]])
print(A)
print(A.shape)

运行结果：

[[ 1.   2.   3. ]
 [ 0.4 -4.   2. ]]

(2, 3)

我们着重强调一下，在形容矩阵规模的时候，一般采用其行数和列数来进行描述，对应到代码中，我们通过矩阵$A$的$shape$属性，就获取了一个表示规模的元组：$2$行$3$列。

2.一些重要的特殊矩阵

初步接触了上一小节里那个普普通通的$2\times 3$矩阵后，这里我们再补充一些特殊形态的矩阵，这些矩阵的特殊性不光体现在外观形状上，更在后续的矩阵实际应用中发挥着重要的作用。

2.1.方阵：行数等于列数

行数和列数相等的这类矩阵，我们称之为方阵，其行数或列数称之为他的阶数，这里我们看到的就是一个$3$阶方阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$，我们代码表示一下：

代码片段：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], 
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])
print(A)
print(A.shape)

运行结果：

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

(3, 3)

2.2.矩阵转置与对称矩阵

在说到对称矩阵之前，我们先得说一下矩阵的转置。对于矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$，如果将其行列互换得到一个新矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$，我们将其称之为转置矩阵$A^T$ ，行列互换的矩阵操作我们称之为矩阵的转置。

代码片段：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], 
             [4, 5, 6]])
print(A)
print(A.T)

运行结果：

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]

那么，如果原矩阵和转置后新得到的矩阵相等，那么这个矩阵我们就称其为对称矩阵。显然，矩阵对称的前提必须得是一个方阵，其次在方阵$S$中的每一项元素，都必须满足$S_{ij}=S_{ji}$。我们举一个实际例子看看。

代码片段：

import numpy as np

S = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 9]])

print(S)
print(S.T)

运行结果：

[[1 2 3]
 [2 5 6]
 [3 6 9]]

[[1 2 3]
 [2 5 6]
 [3 6 9]]

在对阵矩阵中我们发现，沿着从左上到右下的对角线相互对称的元素都是彼此相等的。在后面的内容中你会不断发现：将对称矩阵称之为最重要的矩阵之一，丝毫不为过。他在矩阵的相关分析中会扮演极其重要的角色。

2.3.向量：特殊的一维矩阵

前面在介绍向量的时候，我们提到过这个概念。现在介绍了矩阵之后，我们再着重回顾一下：$n$维的行向量可以看做是$1\times n$的矩阵，同理，$n$维的列向量也同样可以看做是$n\times 1$的特殊矩阵。

那么这样做的目的是什么呢？一方面可以将矩阵和向量的$python$表示方法统一起来，另一方面，在马上要介绍的矩阵与向量的乘法运算中，也可以将其看作是矩阵与矩阵乘法的一种特殊形式，将计算方式统一起来。我们再次用这个视角重新生成一个新的行向量和列向量。

代码片段：

import numpy as np

p = np.array([[1, 2, 3]])
print(p)
print(p.T)

运行结果：

[[1 2 3]]

[[1]
 [2]
 [3]]

我们用生成矩阵的方法生成了一个$1\times 3$的矩阵，用他来表示一个 $3$维的行向量。随后将其转置（因为是矩阵形式，所以可以运用转置方法），就得到了$3$维的列向量。

2.4.零矩阵：元素全$0$

顾名思义，所有元素都是$0$的矩阵称之为零矩阵，记作$O$，像下面这个$3\times 5$的零矩阵$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，他可以记作是$O_{3,5}$。

代码片段：

import numpy as np

A = np.zeros([3, 5])
print(A)

运行结果：

[[ 0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.]]

2.5.对角矩阵

非对角元素位置上全部为$0$的方阵，我们称之为对角矩阵，例如： $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$ ，$python$生成的方法如下：

代码片段：

import numpy as np

A = np.diag([1, 2, 3])
print(A)

运行结果：

[[1 0 0]
 [0 2 0]
 [0 0 3]]

2.6.单位矩阵：对角线为$1$

注意：单位矩阵并不是所有元素都为$1$的矩阵，而是对角元素均为$1$，其余元素均为$0$的特殊对角矩阵。$n$阶单位矩阵记作$I_n$，下面我们用$python$生成一个$4$阶单位矩阵$I_4$：$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ 。

代码片段：

import numpy as np

I = np.eye(4)
print(I)

运行结果：

[[ 1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1.]]

3.矩阵的基本运算

3.1.矩阵的加法

矩阵之间的加法必须运用到相等规模的两个矩阵之间，即：行数和列数相等的两个矩阵之间才能做加法运算。这个非常容易理解，将对应位置上的元素相加即可得到结果矩阵：

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}\end{array}\right]$

我们还是看看实际的代码：

代码片段：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([[10, 20, 30],
              [40, 50, 60]])
print(A+B)

代码片段：

[[11 22 33]
 [44 55 66]]

3.2.矩阵的数量乘法

矩阵的数量乘法，描述起来也非常简单：

$c\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}c{a}_{11}& c{a}_{12}& c{a}_{13}\\ c{a}_{21}& c{a}_{22}& c{a}_{23}\end{array}\right]$

同样，我们看一个代码的例子：

代码片段：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print(2*A)

运行结果：

[[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]]

4.矩阵与矩阵的乘法

矩阵与矩阵的相乘，过程要稍微复杂一点，因此我们拿出来单讲。例如下面举例的矩阵$A$和矩阵$B$的乘法运算，对两个矩阵的形态是有要求的。

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}& a_{11}{b}_{13}+a_{12}{b}_{23}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}& a_{21}{b}_{13}+a_{22}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{11}+a_{32}{b}_{21}& a_{31}{b}_{12}+a_{32}{b}_{22}& a_{31}{b}_{13}+a_{32}{b}_{23}\end{array}\right]$

仔细观察这个计算公式，我们总结出以下的一些要求和规律：

1 左边矩阵的列数要和右边矩阵的行数相等
2 左边矩阵的行数决定了结果矩阵的行数
3 右边矩阵的列数决定了结果矩阵的列数

同样，我们用$python$来演示下面这个例子：

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 6& 7& 8\end{array}\right]$

代码片段：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4, 5],
              [6, 7, 8]])

print(np.dot(A, B))

运行结果：

[[15 18 21]
 [33 40 47]
 [51 62 73]]

5.改变空间位置：矩阵乘以向量的本质

矩阵与向量的乘法，一般而言写作矩阵$A$在左，列向量$x$在右的$Ax$ 的形式。这种$Ax$的写法便于描述向量$x$的位置在矩阵$A$的作用下进行变换的过程（下面会详细介绍）。

矩阵与向量的乘法，其实可以看作是矩阵与矩阵乘法的一种特殊形式，只不过位于后面的矩阵列数为$1$而已。

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_{11}+a_{12}{x}_{21}\\ a_{21}{x}_{11}+a_{22}{x}_{21}\\ a_{31}{x}_{11}+a_{32}{x}_{21}\end{array}\right]$

我们对照前面讲过的矩阵与矩阵的乘法，来对比一下矩阵与向量的乘法规则，我们把列向量看作是列数为$1$的特殊矩阵，那么就会非常明确：

1、矩阵在左，列向量在右，矩阵的列数和列向量的维数必须相等
2、矩阵和向量相乘的结果也是一个向量
3、矩阵的行数就是最终结果输出的列向量的维数
4、乘法的规则如上所示，就是矩阵的每行和列向量进行对应元素分别相乘后相加

我们来看一个矩阵与列向量相乘的例子：

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\times 4+2\times 5\\ 3\times 4+4\times 5\\ 5\times 4+6\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14\\ 32\\ 50\end{array}\right]$

代码片段：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
x = np.array([[4, 5]]).T

print(np.dot(A, x))

运行结果：

[[14]
 [32]
 [50]]

从结果看，原始向量表示二维空间中的一个点，坐标为$(4,5)$，经过矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$乘法的作用，转化为三维空间中坐标为$(14,32,50)$的点。

因此从这个例子中我们可以总结一下矩阵的作用：在特定矩阵的乘法作用下，原空间中的向量坐标，被映射到了目标空间中的新坐标，向量的空间位置（甚至是所在空间维数）由此发生了转化。

6.从行的角度思考

学习了矩阵、向量的表示方法以及运算规则之后，我们回过头来静静的思考一个问题：矩阵$A$和列向量$x$的乘法$Ax$到底意味着什么？下面，我们就来挖掘一下这里面的内涵。

在二阶方阵$A$与二维列向量$x$相乘的例子中，$Ax=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{c}a{x}_1+b{x}_2\\ c{x}_1+d{x}_2\end{array}\right]$ 。

刚才说了，位于矩阵$A$第$i$行的行向量的各成分和列向量$x$各成分分别相乘后相加，得到的就是结果向量的第$i$个成分。这个计算方法有没有感觉很熟悉？没错，这不就是向量点乘的定义式么？

即：$Ax=\left[\begin{array}{c}ro{w}_1\\ ro{w}_2\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{c}ro{w}_1\cdot x\\ ro{w}_2\cdot x\end{array}\right]$。

矩阵与向量的乘法如果从行的角度来看，就是如此。常规的计算操作就是这么执行的，但是似乎也没有更多可以挖掘的，那我们试试继续从列的角度再来看看。

7.列的角度：重新组合矩阵的列向量

如果从列的角度来计算矩阵与向量的乘积，会有另一套计算的方法，可能大家对这种方法要相对陌生一些。但是实质上，这种方法从线性代数的角度来看，还要更为重要一些，我们还是用二阶方阵进行举例。

$Ax=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ $=x_1\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{c}a{x}_1+b{x}_2\\ c{x}_1+d{x}_2\end{array}\right]$

发现了规律没有？我们通过这种形式的拆解，也能得到最终的正确结果，这就是从列的角度进行的分析。从前面的知识我们可以这样描述：从列的角度来看，矩阵$A$与向量$x$的乘法是对矩阵$A$的各列向量进行线性组合的过程，每个列向量的组合系数就是向量$x$的各对应成分。

这么理解似乎有点新意，我们按照列的思想重新把矩阵$A$写成一组列向量的形式：

$Ax=\left[\begin{array}{cccc}co{l}_1& co{l}_2& ...& co{l}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]$ $=x_{1}co{l}_1+x_{2}co{l}_2+...+x_{n}co{l}_n$

依照上述公式，我们举一个实际的例子，就更清楚了。

$Ax=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$ $=3\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$

所得到的结果就是矩阵第一列的列向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$的$3$倍加上第二列列向量$\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$的$5$倍。

因此，一个矩阵和一个向量相乘的过程，就是对位于原矩阵各列的列向量重新进行线性组合的过程，而线性组合的各系数就是向量的对应各成分。

8.进一步引申：变换向量的基底

8.1.二阶方阵与二维列向量乘法举例

为了方便说明原理，我们依旧用二阶方阵$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$与二维列向量$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的乘法进行举例：

二维列向量$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的坐标是$x$和$y$，还记得之前我们介绍过的向量坐标的概念么？向量的坐标依托于基底的选取，向量坐标在基底明确的前提下才有实际意义，而这个二维列向量，我们说他的坐标是$x$和$y$，基于的就是默认基底：$(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])$。那么二维列向量的完整表达式就是：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。

好，回顾了这些基础，我们就利用他将矩阵与向量的乘法表达式做进一步的展开：

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right](x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])$ $=x\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ $=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$

是不是已经初见端倪了？我们再直观的展示一下式子首尾的结果，在矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$的乘法作用下，向量完成了下面的转换：$x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$

挑明了说，就是矩阵把向量的基底进行了变换，把旧的基底 $(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])$变换成了新的基底$(\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right])$。

映射前由旧的基底分别乘以对应的坐标$(x,y)$来表示其位置，而映射后，由于旧的基底映射到新的基底，那向量自然而然应该用新的基底来分别乘以对应坐标$(x,y)$来描述改变后的空间位置，$x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$ ，如图1所示。

8.2.矩阵的各列就是映射后的新基底

结合矩阵的式子我们不难发现：矩阵$A$的第一列$\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$就是原始的默认基向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$变换后的目标位置（新的基向量），而第二列$\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$就是另一个基向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$映射后的目标位置（新的基向量）。

基底的变换明确了，那向量的坐标呢？映射后得到的新向量，如果以 $(\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right])$为基底，他的坐标仍是$(x,y)$，如果以默认的$(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])$为基底，那么其坐标就是$(ax+by,cx+dy)$ 。

8.3.扩展到三阶方阵

为了让结果更让人信服，我们再看看三阶方阵和三维列向量相乘的例子，同理也满足这个过程：

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right](x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right])$ $=x\left[\begin{array}{c}a\\ d\\ g\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ e\\ h\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}c\\ f\\ c\end{array}\right]$

是不是和二阶矩阵的情况是一模一样呢？三阶方阵将三维列向量的基底做了映射转换，方阵的第一列$\left[\begin{array}{c}a\\ d\\ g\end{array}\right]$是原始基向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$映射后的目标位置（新的基向量），方阵的第二列$\left[\begin{array}{c}b\\ e\\ h\end{array}\right]$是原始基向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$映射后的目标位置（新的基向量），方阵的第三列$\left[\begin{array}{c}c\\ f\\ i\end{array}\right]$是原始基向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$映射后的目标位置（新的基向量）。

因此同样的，映射后的目标向量如果在新的基底$(\left[\begin{array}{c}a\\ d\\ g\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}b\\ e\\ h\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}c\\ f\\ c\end{array}\right])$下看，其坐标仍然是$(x,y,z)$。如果放回到原始基底$(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right])$下看，将新的基底 $(\left[\begin{array}{c}a\\ d\\ g\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}b\\ e\\ h\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}c\\ f\\ c\end{array}\right])$和他对应的坐标 $(x,y,z)$相结合，就能得到默认原始基底下的坐标：$\left[\begin{array}{c}ax+by+cz\\ dx+ey+fz\\ gx+hy+iz\end{array}\right]$ 。

8.4.一般化的：$m\times n$矩阵乘以$n$维列向量

此处，我们看到的就是最一般的情况了，矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& & ...& \\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]$和向量$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]$进行相乘。

$Ax=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& & ...& \\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]$ $=x_1\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{m1}\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ...\\ a_{m2}\end{array}\right]+...+x_n\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ...\\ a_{mn}\end{array}\right]$

在$m\times n$矩阵$A$的作用下，原始的$n$维基向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right]$映射成了新的基向量：$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{m1}\end{array}\right]$ ，$n$维基向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ...\\ 1\end{array}\right]$映射成了$\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ...\\ a_{mn}\end{array}\right]$ ，我们发现，在这种一般性的情况下，如果$m\ne n$，那么映射前后，基向量的维数甚至都可能发生变化，$n$维列向量$x$变换成了$n$个$m$维列向量线性组合的形式，其最终结果是一个 $m$ 维的列向量。

由此看出，映射后的向量维数和原始向量维数的关系取决于$m$和$n$的关系，如果$m>n$，那么目标向量的维数就大于原始向量的维数，如果 $m<n$，那么目标向量的维数就小于原始向量的维数。

9.基变换的意外情况

实质上，如果仅仅停留在上面的讨论结果，那可能会显示出我们思考问题不够全面、准确。首先，“经过矩阵变换，会将原始的基底变换成为一组新的基底”这句话的表述就并不准确，之前这么说只是为了方便大家理解并建立概念。

为什么这么说呢？对于一个$m\times n$的矩阵$A$和$n$维列向量$x$，经过$Ax$的乘法作用，$x$的$n$个$n$维默认基向量构成的基底被转换成了$n$个$m$维的目标向量。

当$n>m$的时候，这$n$个向量线性相关，因此不构成基底；

当$n<m$的时候，即使这$n$个向量线性无关，由于他们不能表示$m$维空间中的所有向量，因此也不能称之为基底；

当且仅当$n=m$，且这$n$个向量线性无关的时候，他们才能称之为一组新的基底。

不过即便有这些意外情况，我们这一讲里讨论的内容仍然具有重要意义，矩阵$A$的各列向量是$x$默认基底经过转换后的目标向量，正因为其在维度和线性相关性方面存在各种不同情况，因此这组目标向量的张成空间和原始向量所在的空间之间，就会存在多种不同的对应关系，这便是我们后续将要重点讨论的空间映射相关内容。