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数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析

一、LTI系统的表征

1. LTI系统卷积

y[n] = x[n] \otimes h[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[n-k] h[k]

2. DTFT卷积定理

Y(e^{jw}) = X(e^{jw})H(e^{jw})

3. Z变换的卷积定理

Y(z) = X(z)H(z)

二、LTI系统的频域表示

1. LTI系统的特征函数

对于单位脉冲响应为h[n]的LTI系统，当输入复指数序列为x[n]=e^{jwn}时，可求出输出序列y[n]为

y[n] = e^{jwn} \otimes y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{jw(n-k)}h[k] = e^{jwn} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k] e^{-jwk} = e^{jwn} H(e^{jw})

2. LTI系统的频率响应

当频率为w的单频复指数序列e^{jwn}输入LTI系统时，LTI系统不改变输入序列的频率，只会对输入序列的幅度和相位产生影响，因此H(e^{jw})描述了LTI系统对不同频率下复指数序列e^{jwn}幅度、相位的影响，将H(e^{jw})被称为频率响应。

3. 常用的离散时间理想滤波器

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第1张图片

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第2张图片

 三、LTI系统的z变换分析

1. 线性常系数差分方程表示的LTI系统

线性常系数差分方程：

y[n] = \sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] + \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]

Z变换：

Y(z) = \sum_{k=1}^{M} a_k Y(z) z^{-k} + \sum_{k=0}^{N} b_k X(z) z^{-k}

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{ 1 - \sum_{k=1}^{N} a_{k} z^{-k} } \\ = \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{m=1}^{M} (1-c_mz^{-1})}{\prod_{n=1}^{N} (1-d_nz^{-1})} \\ = z^{N-M} \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{m=1}^{M} (z-c_m)}{\prod_{n=1}^{N}(z-d_n)}

2. 有理系统的z变换分析

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第3张图片

LTI系统稳定的必要条件时系统函数H(z)的收敛域包含单位圆。

LTI系统的因果系统的充分必要条件为收敛域包含|z| = \infty

3. 有理系统的频率响应

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第4张图片

 数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第5张图片

 数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第6张图片

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第7张图片

四、有理系统的全通分解 

1. 幅频特性相同的系统

h[n] \leftrightarrow H(e^{jw}),h^{*}[-n] \leftrightarrow H^{*}(e^{jw})

h[n] \leftrightarrow H(z),h^{*}[-n] \leftrightarrow H^{*} \left( \frac{1}{z^{*}} \right )

若两个系统的零极点分布图中，有若干对零极点互为共轭倒数，则两者的幅频特性相同。

若有一个有理实系统，则可以将其中的若干个零点或极点，用它的共轭倒数代替，则新系统的幅频特性与原系统相同。

2. 全通系统

全通系统：|H_{ap}(e^{jw})| \equiv 1

H_{ap}(z) = \frac{z^{-1} - a^{*}}{1-az^{-1}},0<|a|<1

零点：\frac{1}{a^{*}}，极点：a

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第8张图片

3. 最小相位系统 

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第9张图片

任何有理系统函数均可分解为最小相位系统H_{min}(z)和全通系统H_{ap}(z)级联的形式，称为有理系统的全通分解。

H(z) = H_{min}(z) H_{ap}(z)

数字信号处理笔记05：离散系统变换域分析_第10张图片

 4. 系统补偿方法

五、广义线性相位系统

1. 广义线性相位系统的特点

引入广义线性相位，其频率响应H(e^{jw})可表示为

H(e^{jw}) = A(e^{jw}) e^{j\phi(w)}

\phi(w) = \beta - \alpha w称为广义线性相位，A(e^{jw})称为广义幅频响应。

H(e^{jw}) = A(e^{jw}) e^{j \phi(w)} = A(e^{jw}) sin(\phi(w)) + j A(e^{jw}) cos(\phi(w)) \\ = A(e^{jw}) sin(\beta - \alpha w) + j A(e^{jw}) cos(\beta - \alpha w) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] e^{-jwn} \\ = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] cos(wn) - j \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h[n] sin(wn)

由此可得：

\frac{sin(\beta - \alpha w)}{cos(\beta - \alpha w)} = \frac{-\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] sin(wn)}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] cos(wn)}

进一步可得：

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] cos(wn) sin(\beta - \alpha w) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] sin(wn) cos(\beta - \alpha w) = 0

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] sin(w(n-\alpha) + \beta) = 0

综上，广义线性相位系统的h[n]为实数，且满足\phi(w) = \beta - \alpha w和\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] sin(w(n-\alpha) + \beta) = 0

2. 因果广义线性相位系统

因果广义线性相位系统h[n]，0 \leq n \leq M

（1）第I类广义线性相位系统

M为偶数，h[M-n] = h[n]，0 \leq n \leq MH(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] e^{-jwn} \\ = \sum_{n=0}^{M/2 - 1} h[n] e^{-jwn} + h[M/2] e^{-jwM/2} + \sum_{n=M/2+1}^{M} h[n] e^{-jwn} \\ = \sum_{n=0}^{M/2 - 1} h[n] e^{-jwn} + h[M/2] e^{-jwM/2} + \sum_{n=0}^{M/2-1} h[n] e^{-jw(M-n)} \\ = \sum_{n=0}^{M/2 - 1} h[n] \left( e^{-jwn} + e^{-jw(M-n)} \right ) + h[M/2] e^{-jwM/2} \\ = \sum_{n=0}^{M/2 - 1} h[n] \left( e^{-jw(n-M/2)} + e^{jw(n-M/2)} \right ) e^{-jwM/2}+ h[M/2] e^{-jwM/2} \\ = e^{-jwM/2} \left[ \sum_{n=0}^{M/2 - 1} h[n] \left( e^{-jw(n-M/2)} + e^{jw(n-M/2)} \right )+ h[M/2] \right ] \\ = e^{-jwM/2} \left[ \sum_{n=0}^{M/2 - 1} 2 h[n] cos[w(n-M/2)] + h[M/2] \right ]

\phi(w) = -\frac{M}{2} w

A(e^{jw}) = \sum_{n=0}^{M/2 - 1} 2 h[n] cos[w(n-M/2)] + h[M/2]

H(e^{jw})关于w=0,\pi偶对称

（2）第II类广义线性相位系统

M为奇数，h[M-n] = h[n]，0 \leq n \leq M

H(e^{jw}) = e^{-jwM/2} \sum_{n=0}^{\frac{M-1}{2}}2h[n] cos(w(n-M/2))

\phi(w) = -\frac{M}{2} w

A(e^{jw}) = \sum_{n=0}^{\frac{M-1}{2}} 2h[n] cos(w(n-M/2))

H(e^{jw})关于w=0偶对称，关于w=pi奇对称，且在w=pi处为0。

（3）第III类广义线性相位系统

 M为偶数，h[M-n] + h[n] = 0，0 \leq n \leq M

H(e^{jw}) = e^{j(\frac{\pi}{2} - w\frac{M}{2})} \left( \sum_{n=0}^{\frac{M}{2} - 1} 2h[n] sin\left( w(M/2 - n) \right ) \right )

\phi(w) = \frac{\pi}{2} - \frac{M}{2}w

A(e^{jw}) = \sum_{n=0}^{\frac{M}{2} - 1} 2h[n] sin\left( w(M/2 - n) \right )

H(e^{jw})关于w=0和w=pi奇对称，且为0.

（4）第IV类广义线性相位系统

 M为奇数，h[M-n] + h[n] = 0，0 \leq n \leq M

\phi(w) = \frac{\pi}{2} - \frac{M}{2}w

A(e^{jw}) = \sum_{n=0}^{\frac{M}{2} - 1} 2h[n] sin\left( w(M/2 - n) \right )

H(e^{jw})关于w=0奇对称，关于w=pi偶对称，在w=0处为0.

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