激活函数，损失函数以及学习率

（一）激活函数

1. 什么是激活函数

在神经网络中，我们经常可以看到对于某一个隐藏层的节点，该节点的激活值计算一般分为两步：
  （1）输入该节点的值为 x1,x2时，在进入这个隐藏节点后，会先进行一个线性变换，计算出值
  
 $z^{[1]}=w_1{x}_1+w_2{x}_2+b^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$，上标 1 表示第 1 层隐藏层。
  （2）再进行一个非线性变换，也就是经过非线性激活函数，计算出该节点的输出值(激活值) a(1)=g(z(1)) ，其中 g(z)为非线性函数。
  

2. 常用的激活函数

在深度学习中，常用的激活函数主要有：sigmoid函数，tanh函数，ReLU函数。下面 一一介绍。

2.1 sigmoid函数

在逻辑回归中我们介绍过sigmoid函数，该函数是将取值为 (−∞,+∞)
的数映射到 (0,1)

之间。sigmoid函数的公式以及图形如下：

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

对于sigmoid函数的求导推导为：

sigmoid函数作为非线性激活函数，但是其并不被经常使用，它具有以下几个缺点：
   （1）当 z值非常大或者非常小时，通过上图我们可以看到，sigmoid函数的导数 g′(z) 将接近 0 。这会导致权重 W 的梯度将接近 0，使得梯度更新十分缓慢，即梯度消失。下面我们举例来说明一下，假设我们使用如下一个只有一层隐藏层的简单网络：
   

对于隐藏层第一个节点进行计算，假设该点实际值为 a，激活值为 a[1] 。于是在这个节点处的代价函数为（以一个样本为例）： $$J^{[1]}(W)=\frac{1}{2}(a[1]-a)2$$
 而激活值 $a^{[1]}$的计算过程为：

$$z^{[1]}=w_{11}{x}_1+w_{12}{x}_2+b^{[1]}$$

$$a^{[1]}=g(z^{[1]})$$

于是对权重 $w_{11}$求梯度为：

$$\frac{\Delta J^{[1]}(W)}{\Delta w_{11}}=(a^{[1]}-a)\cdot (a^{[1]}{)}^{\prime }=(a^{[1]}-a)\cdot g^{\prime }(z^{[1]})\cdot x_1$$
   由于 $g^{\prime }(z^{[1]})=g(z[1])(1-g(z[1]))，当z^{[1]}$ 非常大时，$g(z^{[1]})\approx 1，1-g(z^{[1]})\approx 0$因此，$g^{\prime }(z^{[1]})\approx 0,\frac{\Delta J^{[1]}(W)}{\Delta w_{11}}\approx 0$。当$z^{[1]}$ 非常小时，$g(z^{[1]})\approx 0$，亦同理。（本文只从一个隐藏节点推导，读者可从网络的输出开始，利用反向传播推导）

（2）函数的输出不是以0为均值，将不便于下层的计算 。
  sigmoid函数可用在网络最后一层，作为输出层进行二分类，尽量不要使用在隐藏层。

2.2 tanh函数

tanh函数相较于sigmoid函数要常见一些，该函数是将取值为 (−∞,+∞)
的数映射到 (−1,1)之间，其公式与图形为：

$$g(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$$

tanh函数在 0附近很短一段区域内可看做线性的。由于tanh函数均值为 0 ，因此弥补了sigmoid函数均值为 0.5的缺点。
  对于tanh函数的求导推导为：

tanh函数的缺点同sigmoid函数的第一个缺点一样，当 z很大或很小时，$g^{\prime }(z)$ 接近于 0

，会导致梯度很小，权重更新非常缓慢，即梯度消失问题。

2.3 ReLU函数

ReLU函数又称为修正线性单元（Rectified Linear Unit），是一种分段线性函数，其弥补了sigmoid函数以及tanh函数的梯度消失问题。ReLU函数的公式以及图形如下：

$$g(z)=\{\begin{array}{ll}z,& \text{if z>0 }\\ 0,& \text{if z<0}\end{array}$$

对于ReLU函数的求导为：

$$g^{\prime }(z)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if z>0 }\\ 0,& \text{if z<0}\end{array}$$

ReLU函数的优点：
   （1）在输入为正数的时候（对于大多数输入 z空间来说），不存在梯度消失问题。
   （2） 计算速度要快很多。ReLU函数只有线性关系，不管是前向传播还是反向传播，都比sigmod和tanh要快很多。（sigmod和tanh要计算指数，计算速度会比较慢）
  ReLU函数的缺点：
   （1）当输入为负时，梯度为0，会产生梯度消失问题。

2.4 Leaky ReLU函数

这是一种对ReLU函数改进的函数，又称为PReLU函数，但其并不常用。其公式与图形如下：

$$g(z)=\{\begin{array}{ll}z,& \text{if z>0 }\\ az,& \text{if z<0}\end{array}$$

其中 a取值在 (0,1)之间。
  Leaky ReLU函数的导数为：

$$g(z)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if z>0 }\\ a,& \text{if z<0}\end{array}$$

Leaky ReLU函数解决了ReLU函数在输入为负的情况下产生的梯度消失问题。

3. 为什么要用非线性激活函数？

以这样一个例子进行理解。
  假设下图中的隐藏层使用的为线性激活函数（恒等激活函数），也就是说 g(z)=z。
  

于是可以得出：

$$z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$$

$$a^{[1]}=g(z^{[1]})=z^{[1]}$$

$$z^{[2]}=W^{[2]}{a}^{[1]}+b^{[2]}=W^{[2]}(W^{[1]}x+b^{[1]})+b^{[2]}$$
$$a^{[2]}=g(z^{[2]})=z^{[2]}=W^{[2]}(W^{[1]}x+b^{[1]})+b^{[2]}=W^{[1]}{W}^{[2]}x+W^{[2]}{b}^{[1]}+b^{[2]}$$

$$\hat{y}=a^{[2]}=W^{[1]}{W}^{[2]}x+W^{[2]}{b}^{[1]}+b^{[2]}$$

可以看出，当激活函数为线性激活函数时，输出 $\hat{y}$不过是输入特征 x 的线性组合（无论多少层），而不使用神经网络也可以构建这样的线性组合。而当激活函数为非线性激活函数时，通过神经网络的不断加深，可以构建出各种有趣的函数。

(二）损失函数

1. 损失函数、代价函数与目标函数

• 损失函数（Loss Function）：是定义在单个样本上的，是指一个样本的误差。

• 代价函数（Cost Function）：是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是所有损失函数值的平均。

• 目标函数（Object Function）：是指最终需要优化的函数，一般来说是经验风险+结构风险，也就是（代价函数+正则化项）。

2. 常用的损失函数

（1）0-1损失函数（0-1 loss function）

$$L(y,f(x))=\{\begin{array}{ll}1,& y\ne f(x)\\ 0,& y=f(x)\end{array}$$

也就是说，当预测错误时，损失函数为1，当预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度。只要错误，就是1。
（2）平方损失函数（quadratic loss function）

$$L(y,f(x))=(y-f(x){)}^2$$

是指预测值与实际值差的平方。
（3）绝对值损失函数（absolute loss function）

$$L(y,f(x))=|y-f(x)|$$

该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值而不是求绝对值，差距不会被平方放大。
（4）对数损失函数（logarithmic loss function）

$$L(y,p(y|x))=-\log p(y|x)$$

这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。
（5）Hinge loss

Hinge loss一般分类算法中的损失函数，尤其是SVM，其定义为：

$$L(w,b)=max\{0,1-yf(x)\}$$

其中 y=+1或y=−1，f(x)=wx+b，当为SVM的线性核时。

3. 常用的代价函数

（1）均方误差（Mean Squared Error）

$$MSE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y^{(i)}-f(x^{(i)}){)}^2$$

均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值; MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。（ i表示第 i 个样本，N表示样本总数）
  通常用来做回归问题的代价函数。
（2）均方根误差

$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y^{(i)}-f(x^{(i)}){)}^2}$$

均方根误差是均方误差的算术平方根，能够直观观测预测值与实际值的离散程度。
  通常用来作为回归算法的性能指标。
（3）平均绝对误差（Mean Absolute Error）

$$MAE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N|y^{(i)}-f(x^{(i)})|$$

平均绝对误差是绝对误差的平均值 ，平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况。
  通常用来作为回归算法的性能指标。
（4）交叉熵代价函数（Cross Entry）

$$H(p,q)=-\sum _{i=1}^{N}p(x^{(i)})\log q(x^{(-i)})$$

交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，减少交叉熵损失就是在提高模型的预测准确率。其中 p(x)

是指真实分布的概率， q(x) 是模型通过数据计算出来的概率估计。
  比如对于二分类模型的交叉熵代价函数（可参考逻辑回归一节）：

$$L(w,b)=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y^{(i)}\log f(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log (1-f(x^{(i)})))$$
  其中 f(x)可以是sigmoid函数。或深度学习中的其它激活函数。而 y(i)∈0,1 。
  通常用做分类问题的代价函数。

(三)学习率

1. 什么是学习率(Learning rate)？

学习率(Learning rate)作为监督学习以及深度学习中重要的超参，其决定着目标函数能否收敛到局部最小值以及何时收敛到最小值。合适的学习率能够使目标函数在合适的时间内收敛到局部最小值。
  这里以梯度下降为例，来观察一下不同的学习率对代价函数的收敛过程的影响（这里以代价函数为凸函数为例）：
  回顾一下梯度下降 ：
$${\theta }_j={\theta }_j-\alpha \frac{\Delta J(\theta )}{\Delta {\theta }_j}$$

当学习率设置的过小时，收敛过程如下：
 
当学习率设置的过大时，收敛过程如下：

由上图可以看出来，当学习率设置的过小时，收敛过程将变得十分缓慢。而当学习率设置的过大时，梯度可能会在最小值附近来回震荡，甚至可能无法收敛。
  我们再来看一下学习率对深度学习模型训练的影响：

可以由上图看出，固定学习率时，当到达收敛状态时，会在最优值附近一个较大的区域内摆动；而当随着迭代轮次的增加而减小学习率，会使得在收敛时，在最优值附近一个更小的区域内摆动。（之所以曲线震荡朝向最优值收敛，是因为在每一个mini-batch中都存在噪音）。

因此，选择一个合适的学习率，对于模型的训练将至关重要。下面来了解一些学习率调整的方法。

2. 学习率的调整

2.1 离散下降(discrete staircase)

对于深度学习来说，每 t轮学习，学习率减半。对于监督学习来说，初始设置一个较大的学习率，然后随着迭代次数的增加，减小学习率。

2.2 指数减缓(exponential decay)

对于深度学习来说，学习率按训练轮数增长指数差值递减。例如：

$$\alpha =0.95^{epoch\_num}\cdot {\alpha }_0$$

又或者公式为：

$$\alpha =\frac{k}{\sqrt{epoch\_num}}$$

其中epoch_num为当前epoch的迭代轮数。不过第二种方法会引入另一个超参 k。
2.3 分数减缓(1/t decay)

对于深度学习来说，学习率按照公式$\alpha =\frac{\alpha }{1+deca{y}_{r}ate\ast epoc{h}_{n}um}$变化， decay_rate控制减缓幅度。