动态规划算法学习三:0-1背包问题

文章目录

  • 前言
  • 一、问题描述
  • 二、DP解决步骤
    • 1、最优子结构性质
    • 2、状态表示和递推方程
    • 3、算法设计与分析
    • 4、计算最优值
    • 5、算法实现
    • 6、缺点与思考

前言

一、问题描述

动态规划算法学习三:0-1背包问题_第1张图片
动态规划算法学习三:0-1背包问题_第2张图片

二、DP解决步骤

1、最优子结构性质

动态规划算法学习三:0-1背包问题_第3张图片

2、状态表示和递推方程

  • 子问题可由两个参数确定:待考虑装包的物品集背包的容量
  • 将所有物品按照1至n 标号,待考虑装包的物品集可以用物品集中末尾物品的标号来描述,则得状态表示(,),1≤≤, 0≤≤ 表示在背包容量为,待考虑装包的物品集为{1, 2, …, i}时的最大装入物品价值。
  • Val(n, C) 则表示原问题的最优解。

3、算法设计与分析

(,),1≤≤, 0≤≤ 表示在背包总容量,待考虑装包的物品集为{1, 2, …, i} 时的最大装入物品价值。
动态规划算法学习三:0-1背包问题_第4张图片

解释上图:

  • 当 i = 1时:
    • 如果w1 > p,说明放不下背包,则价值为 0;
    • 如果w1 < p,则能放进去,且价值为 v1
  • 当 i > 1时:
    • 如果wi > p 时,说明,整个包都放不下一个第i个物品,则这个物品可以舍弃,且价值为之前的i-1的价值 即:Val(i - 1,p)
    • 如果wi < p时,说明,这个包是可以放得进去背包的,则需要判断值不值的:
      整个包能放下第i个物品,只有两种可能性:
      1. 不放第i个物品:价值仍然是val(i-1,p)
      2. 放入第i个物品:包中需要为其腾出 wi 的空;那么前i-1个物品就只能从p-wi 的空中选取最佳组合,其最佳组合值为 val(i-1,p-wi) ;然后再加上vi
      然后,对这两种可能的子问题的最优值进行max;
      注意:前i-1个物品在不同的包容量Px下,其组合都是不同的,但是最佳值都可以用val(i-1,Px)来表示。在自底向上方法下,Px可以逐步累加,来求解val(i-1,Px)的值。

4、计算最优值

动态规划算法学习三:0-1背包问题_第5张图片
动态规划算法学习三:0-1背包问题_第6张图片

按物品的两种基本单位来给出表格的行数和列数,而不是根据物品的数目和价值!有枚举的意思,回顾暴力算法章节中剪绳子的问题!
3-6处的9:能放进去,但价值会降低,不腾,不放
3-8处的11:能放进去,但要腾1个,价值会升高,腾,放
3-10处的14:能放进去,但剩余空间够,不必腾,放,价值会升高

动态规划算法学习三:0-1背包问题_第7张图片

按照上面公式以及逻辑计算:

  1. i = 1时,有11个情况,0-10,
    物品只有第一个,n=1;
    只有 p = 2及以后, p>=(w1 = 2),v1 = 6,所以背包从 2 开始到 10 都是 6
    (这里是第一个公式,往后就只使用第二个公式进行比较)
  2. i = 2时,11个情况,0-10
    物品是前2个,n=2;
    p = 2时,满足p >= (w2 = 2),可以替换,但需要比较 是否值得替换:Val(i-1, p)=Val(1,2)=6,Val(i-1, p - w2)+v2= Val(1,0)+3 = 3,3<;虽然能替换,放了还不如原来的价值,所以不替换。背包放 1 号物品;
    p = 3时,同上。
    p = 4时及以后(从逻辑上讲:背包放1号和2号物品,即9 正好,但是也需要计算)。p > (w2 = 2),可以放,但需要比较 是否值得放:Val(i-1, p)=Val(1,4)=6,Val(i-1, p - w2)+v2= Val(1,2)+3 = 9,9>6,则可以放。
  3. i = 3时,11个情况,0-10
    物品有3个,n=3;
    p = 2时,同上面的 p = 2 的逻辑。放物品1
    p = 4时,同上面的 p = 4 的逻辑。放物品1,2
    p = 8时,p >= (w3 = 6),可以替换,但需要比较 是否值得替换:Val(i-1, p)=Val(2,8)=9,Val(i-1, p - w3)+v3= Val(2,2)+5 = 11,11>9,所以可以替换。把n=2拿出来,把n=3放进去,权重相加等于8,价值为11;放物品1,3
    p = 10时,p >= (w3 = 6),可以替换,但需要比较 是否值得替换 :Val(i-1, p)=Val(2,10)=9,Val(i-1, p - w3)+v3= Val(2,4)+5 = 14。三个都可以放进去,则价值为14。放物品1,2,3
  4. i = 4时,11个情况,0-10
    物品有4个,n=4;
    p = 2时,同上面的 p = 2 的逻辑。放物品1
    p = 4时,同上面的 p = 4 的逻辑。放物品1,2
    P = 7时,p >= (w4 = 5),可以替换,但需要比较 是否值得替换 ,Val(i-1, p)=Val(3,7)=9,Val(i-1, p - w4)+v4= Val(3,2)+4 = 10,因为 9 < 10,所以可以放。放物品1,4
    P = 8时,p >= (w4 = 5),可以替换,但需要比较 是否值得替换 ,Val(i-1, p)=Val(3,8)=11,Val(i-1, p - w4)+v4= Val(3,3)+4 = 10,因为 11 > 10,所以替换,放物品1,3
    P = 9时,p >= (w4 = 5),可以替换,但需要比较 是否值得替换 ,Val(i-1, p)=Val(3,9)=11,Val(i-1, p - w4)+v4= Val(3,4)+4 = 13,因为 11 < 13 ,所以替换,放物品1,2,4
    P = 10时,p >= (w4 = 5),可以替换,但需要比较 是否值得替换 ,Val(i-1, p)=Val(3,10)=14,Val(i-1, p - w4)+v4= Val(3,5)+5 = 14,因为 14 = 14 ,所以替换,存物品1,2,3
  5. i = 5时,11个情况,0-10
    物品有5个,n=5;

5、算法实现

import java.util.Arrays;

import static java.lang.Math.max;

/**
 * DP之0-1背包问题
 */
public class Main3 {

    public static int MaxN = 11;
    public static int MaxC = 11;

    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {2, 2, 6, 5, 4};
        double[] v = {6, 3, 5, 4, 6};
        double v1 = binaryKnapsack(w.length, w, v, 10);
        System.out.println(v1);
    }

    public static double binaryKnapsack(int numItems, int[] w, double[] v, int capacity) {
        double[][] val = new double[numItems][capacity + 1];
        memSet(val, 0, val.length);

        for (int i = 1; i < numItems; i++)
            for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
                val[i][j] = val[i - 1][j];
                if (j >= w[i])
                    val[i][j] = max(val[i - 1][j], val[i][j - w[i]] + v[i]);
            }

        // 打印二维数组
        for (int i = 0; i < val.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(val[i]));
        }
        return val[numItems - 1][capacity]; // [4][10]
    }

    public static void memSet(double[][] val, int col, int length) {
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            for (int j = 0; j < val[i].length; j++){
                val[i][j]=0;
            }
        }
    }

}

计算 (,)的值只需要Val数组中第−行中第个分量之前的数值。

6、缺点与思考

动态规划算法学习三:0-1背包问题_第8张图片

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