详解PWM实现DAC原理

预备知识

首先，我们先回顾一下，周期信号傅里叶级数展开，三角傅里叶级数展开的展开式如下：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos (wt)+b_1\sin (wt)+a_2\cos (2wt)+b_2\sin (2wt)+\cdots +a_n\cos (kwt)+b_n\sin (kwt)$$
简写为，
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\cos (kwt)+b_k\sin (kwt)$$

其中$T$为周期，$k$为谐波次数，$w=\frac{2\pi }{T}$为角频率。

展开式中的傅里叶系数如下：
$$\{\begin{array}{l}{a}_0=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\mathrm{d}t\\ a_k=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (kwt)\mathrm{d}t\\ b_k=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin (kwt)\mathrm{d}t\end{array}$$

奇函数和偶函数的傅里叶级数可以做一下简化，这里直接给出结论，下面的推导中会用到。

1.函数为奇函数，那么傅里叶系数$a_0=0$，$a_k=0$，傅里叶级数展开式即为$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k\sin (kwt)$，也称为正弦级数；

2.函数为偶函数，那么傅里叶系数$b_k=0$，傅里叶级数展开式即为$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\cos (kwt)$，也称为余弦级数。

矩形波做傅里叶级数展开

现在我们要对任意占空比的PWM波做傅里叶级数展开，先把PWM写成分段函数的形式，

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}{V}_H& kN\le t\le nT+kNT\\ V_L& kN+nT\le t\le NT+kNT\end{array}$$
其中k为谐波次数，高电平电压记为$V_H$，低电平记为$V_L$，n高电平寄存器计数值，N周期寄存器计数值，则有占空比$D=\frac{n}{N}$，

这里把PWM矩形波作为偶函数分析，用一下上一节提到的奇偶函数的性质，则有，
$$a_k=\frac{2}{T}{\int }_{-DT/2}^{DT/2}x(t)\cos (kwt)\mathrm{d}t$$

化简可得，
$$a_k=\frac{4}{T}(V_H-V_L){\int }_0^{DT/2}\cos (kwt)\mathrm{d}t={\frac{4}{T}(V_H-V_L)\frac{T}{2\pi k}\sin (k\frac{2\pi D}{T})|}_0^{DT/2}=\frac{2(V_H-V_L)}{k\pi }\sin (kD\pi )$$

上式带入可得三角傅里叶级数展开式，
$$f(t)=[D(V_H-V_L)]+2\frac{V_H-V_L}{\pi }\sin (\frac{n}{N}\pi )\cos (\frac{2\pi }{T}t)+2\frac{V_H-V_L}{k\pi }\sum _{k=2}^{\infty }\sin (k\frac{n\pi }{N})\cos (k\frac{2\pi }{T}t)$$

第一项，$[D(V_H-V_L)]$为直流分量；

第二项，$2\frac{V_H-V_L}{\pi }\sin (\frac{n}{N}\pi )\cos (\frac{2\pi }{T}t)$为基波分量（也叫一次谐波分量），可得到基波频率$f=\frac{1}{T}$，就是PWM矩形波的频率；

第三项，$2\frac{V_H-V_L}{k\pi }{\sum }_{k=2}^{\infty }\sin (k\frac{n\pi }{N})\cos (k\frac{2\pi }{T}t)$为高次谐波分量，各次谐波频率$f=\frac{k}{T}$，由此可见高次谐波频率都是基波的整数倍。

有了上面推导分析，我们可以很容易的知道，第一项的直流分量是随着占空比$D$线性变化的，如果我们要用PWM波当做DAC使用，那么我们只需要通过低通滤波器滤掉谐波分量就可实现了。

滤波器设计

既然只要保留直流分量，设计一个RC低通滤波器就可以了。那么怎么知道滤波器的设计参数呢？

首先我们计算一下DAC的分辨率，分辨率与周期寄存器计数值N有关，这里假设N=1024，根据下面公式计算可得分辨率为10位。
$$分辨率={\log }_{2}N={\log }_{2}1024=10$$
在10位分辨率条件下，我们要求一次谐波对输出电压的影响不要超过1个位的精度，即有$3.3/1024=0.0032V$。

这里我们假设使用的是$3.3V$系统，$V_H=3.3V$，$V_L=0V$，那么一次谐波的最大值为$2\ast 3.3/\pi =2.1V$，就可以计算出RC滤波电路至少需要提供$-20lg(2.1/0.0032)=-56dB$的衰减。

每衰减$20dB$，频率下降10倍，那么就可以计算出截止频率的下限为$f_c=f_{pwm}/10^{\frac{56}{20}}$，假设$f_{pwm}=8KHz$，则有$f_c=8000/630.96=12.679Hz$

有了截止频率下限，根据截止频率公式，
$$f_c=\frac{1}{2\pi \tau }$$

$$\tau =RC=\frac{1}{2\pi f_c}$$

就可以计算出RC时间常数$\tau$，然后选择合适的$RC$参数完成滤波器设计。

关于RC低通滤波截止频率公式推导过程可以看另外一篇文章，RC低通滤波器截止频率公式推导。