第四章 灰度直方图

4.1 引言

在数字图像处理中，一种最简单且最有用的工具是灰度直方图。它概括了一幅图的灰度级内容，任何一幅图像的直方图都包含了可观的信息，某些类型的图像还可由其直方图完全描述。直方图的计算很简单，特别是当一幅图从一个地方被复制到另一个地方时，直方图的计算可以用非常低的代价来完成。

4.1.1 定义

灰度直方图是灰度级的函数，描述的是图像中具有该灰度级的像素的个数:其横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度出现的频率（像素的个数）。

灰度直方图也有另一种定义：将一幅连续图像中具有灰度级D的所有轮廓线所包围的面积，称为它的阀值面积函数A(D)。则直方图可定义为：

因此，一幅连续图像的直方图是其面积函数的倒数的负值。负号的出现时由于随着D的增加，A（D)在减少。如果将图像看成是一个二维的随机变量，则面积函数相当于其累积分布函数，而灰度直方图相当于其概率密度函数。

对于离散函数，设定△D为1，则式（1）则变为：

对于数字图像，任一灰度级D的面积函数就是大于或等于D的像素个数。

4.1.2 二维直方图

二维直方图是两个变量：红光图像的灰度值和蓝光图像的灰度值的坐标。坐标(DR,DB)处的值指的是在红光图像中具有灰度值DR，同时在蓝光图像中同一位置具有灰度值DB的像素（对）的个数。这是一种多光谱的数字图像，在每一个采样的有一个像素，每个像素有多个变量在此处，变量的个数为2。二维直方图表示像素值在两种灰度级的组合中的分布情况。如果红光图像和蓝光图像相同，直方图除了在45度斜线位置上有值外，在其余各处值将为0。如果每个像素（对）中红分量大于蓝分量，或者反之，直方图的分布将分别在45度斜线之上或之下。

4.1.3 直方图的性质

当一幅图像被压缩为直方图后，所有的空间信息都丢失了。直方图描述了每个灰度级具有的像素的个数，但不能为这些像素在图像中的位置提供任何线索。因此，任一特定的图像有唯一的直方图，但反之并不成立：极不相同的图像可以有着相同的直方图。尽管如此，直方图仍有一些有用的性质：

如果替换式(1)的变量，并对等式两边从D到∞进行积分，将得到：

即面积函数，如果我们令D=0，并假定灰度级为非负，则为图像的面积。

直方图的另一个有用的性质是：如果一图像由两个不连接的区域组成，并且每个区域的直方图已知，则整幅图像的直方图是两个区域的直方图之和。显然，该结论可推广至任何数目的不连接区域的情形。

4.2 直方图的用途

4.2.1 数字化参数

直方图给出了一个简单可见的指示，用于判断一幅图像是否合理地利用了全部被允许的灰度级范围。一般一幅图像应该利用全部或几乎全部可能的灰度级，否则等于增加了量化间隔。一旦被数字化的图像级数少于256，丢失的信息（除非重新数字化）将不能恢复。

如果图像具有超出数字化器所能处理范围内的亮度，则这些亮度将被简单的置为0或255，由此将在直方图的一端或两端产生尖峰。数字化时对直方图进行检查是一个好的做法。

4.2.2 边界阈值处理

如前所述，轮廓线提供了一个确立图像中简单物体边界的有效方法。使用轮廓线作为边界的技术，我们称之为阈值化。一幅图背景是浅色的，其中有一个深色物体。那么其灰度直方图会分为两个明显的峰，其中左峰为物体的深色像素，右峰为背景中大量灰度级产生。物体边界附近具有两个峰之间的灰度值相对较少，从而产生了两峰之间的谷。选择谷作为灰度阈值将得到合理的物体边界。

4.2.3 综合光密度

综合光密度（IOD）是反应图像中“质量”的一种有用度量，其定义为：

其中，a和b是所划定的图像区域的边界。如果在灰度级为0的背景上有深色的物体，则IOD反映了物体面积和密度的组合。