数学建模--时间序列分析、模型预测

学习自：b站 清风数学建模

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第1部分_时间序列分析的概念与时间序列分解模型

时间序列

时间序列的基本概念

区分时期和时点序列

时期序列适用于灰色预测模型

时间序列分解

时间要小于1年，才能进行时间序列分解

长期变动趋势 T

季节趋势 S

百度指数可以参考

不规则变动 （随机扰动项） I

叠加模型和乘积模型

年份数据不能使用时间序列分解。

SPSS处理时间序列中的缺失值

如果缺失值在开头或者结尾，则直接删除缺失值即可。

如果缺失值在中间，则需要用SPSS来替换缺失值。
转换-替换缺失值

替换缺失值的五种方法

SPSS软件定义时间变量

1. 数据-定义日期和时间
2. 选择合适的日期时间格式

时间序列图

季节性分解

结果解读

乘法分解

画出分解值之后的图

建立时间序列分析模型

第2部分_SPSS中七种指数平滑方法的简单介绍

simple模型

预测的系数都是相同的，这是因为我们公式所决定的。

线性趋势模型

如果选择了线性趋势模型，spss就会给我们一个α和β
不含季节成分
布朗是霍特的特例。

阻尼趋势模型

线性趋势减弱，不含季节。
φ影响着曲线，如果φ等于1，那么阻尼就 是霍特。
如果最后spss给的是阻尼趋势模型，那么就将这三个公式和3个参数放在论文中，然后再进行解释即可

阻尼是在霍特的基础上引入了阻尼效应，使曲线更平缓。

简单季节性

不含趋势，有稳定季节成分。
原来的趋势平滑方程，变成了，季节平滑方程。

温特加法模型

线性趋势+稳定季节成分

温特乘法模型

线性趋势+不稳定季节成分

第3部分_与ARIMA模型相关的十大知识点（了解即可）

平稳时间序列

协方差平稳。

白噪声序列

扰动项一般都被假设为白噪声序列。

差分方程

红色字体的就是它的齐次部分

滞后算子

1. 常数滞后，还是它本身
2. 满足乘法分配
3. 多次滞后
   

AR（p）模型

一定是平稳的，如果不平稳，要先转换为平稳的。


齐次部分转换为特征方程（即p阶多项式），对应可求出p个解。可能有实根，也可能有虚根。
经过k阶的差分可以让它变成平稳的时间序列 。

1,2 常见，3 的情况很少。

AR（p）模型 例子

MA( q) 模型

—

平稳性要求，方差存在且有界。
q是常数，一定平稳

MA模型和AR模型的关系

ARMA（p,q）模型 --自回归移动平均模型

自相关系数ACF

偏自相关函数 PACF

前提是平稳

pdf 49-52

ARMA模型的识别

AIC和BIC准则 （选小原则）

BIC 选择的模型更加简洁。

检验模型是否识别完全 q检验

APIMA(p,d,q) 差分自回归移动平均模型

SAPIMA – 季节性的APIMA模型

第4部分_实例1销量数据预测和实例2人口数据预测

SPSS时间序列建模的思路

1.查看数据是否缺失，如果在开头或者结果可以直接删除。如果出现在中间，使用SPSS填充。
生成时间变量，并画出时间序列图。（参考标题 ：SPSS软件定义时间变量）

2.肉眼看数据是什么样的结构，就是看时间周期。看是不是季度或者月份数据（至少2个完整的）。
如果是的话，则看一下这个时间序列有没有季节性波动，如果有的话，可以对时间序列进行分解，（加法或乘法分解），用什么取决于这个图啥样。（有累加趋势的，应该用加法）

3.看这个时间序列图是不是平稳的序列。比如ARMA模型是建立在平稳的基础之上的。
如果在明显上升或下降趋势，就用ARIMA
如果数据围绕均值上下波动，没有趋势和季节性，就可以认为它是平稳的

ARIMA(p,1,q) 先进行一阶差分，然后平稳了，才能用ACF和PACF图形分析。

如果得到的结果与季节相关，可以考虑使用时间序列分解。

变量部分：

统计、图：

如果需要预测，则多勾选预测值的置信区间和拟合值的置信区间（但是可能最后的图会很糟糕。）

保留残差的ACF和PACF 判断残差是否为白噪声

保存：

如果需要预测，则多勾选上下限

选项：

指定预测到哪一年哪一季度

常用的评价指标

SPSS结果

SPSS选择了温特斯加性


Q检验：
显著性就是我们的P值，大于0.05 ,则不能拒绝原假设，则残差是白噪声，是白噪声则认为我们这个模型能完全识别出我们的时间序列。
离群值数为0，则我们没有离群值

我们勾选的，对于系数的估计值

所有的ACF和PACP都在两条线之内，则认为它和0没有显著差异，认为我们的模型能完全识别时间序列（与q检验的结论一致。）

通过观察，拟合的效果较好。

SPSS温特加法模型 -论文写法

1.把4个式子搬上去，再解释4个变量是什么意思？

2.再把SPSS的结果估计的三个参数放上去。

3.再把Q检验的统计量放上去。

4.再放残差ACF和残差PACF 图形，然后再加上以上几句话。

带预测的时间序列

温特加法模型对数据拟合效果很好。既有向上的线性，也有季节效应。

论文

1.由于我们的数据是完整的，不存在缺失值，数据为季度数据，我们可以做出它的时间序列图。
2.然后就做出时间序列图。然后分析一下时间序列图。如：我们的销量数据有明显的上升趋势，而且销量数据有明显的季节波动，那我们就可以考虑时间序列分解。
3.因为它是平稳的，我们就可以使用加法的时间序列分解。然后对结果进行解读（参考 标题 ：结果解读）
4.然后我们利用SPSS软件的专家建模器。把专家建模器的工作原理说明一下。 专家建模器会为我们选择一个很合适的模型。SPSS的专家缄默期给出的最合适的模型是 XXX 模型。
5.然后再解释一下 XXX 模型 。如下图的公式和参数说明

6.然后SPSS给我们估计出来的3个参数也可以写在我们的论文中，使用了指数平滑法模型来估计参数。

7.然后我们对白噪声进行残差检验，可以通过图形来判断，也可以通过q检验。把结果的图形和文字放在我们的论文中

8.我们设置了95%的置信水平，在95%的置信水平下，我们得到了如下这些预测值。


9. 把评价指标平稳的R方放入论文，越接近1说明拟合越好。还有标准化BIC，代表模型复杂性的模型整体拟合的一般度量。

例题2：人口数据预测

用来预测的话，拟合用得比较多，插值基本不用。

1.定义日期。
数据-定义日期
2.分析-时间序列预测-序列图

3.生成图（可以对图进行一些美化）
4. 分析-时间序列预测-时间序列建模器

然后在切换到统计，勾选参数估算值

再切换到图，勾选残差自相关函数和残差偏自相关函数和拟合值

再切换到选项，预测到2025

再切换到保存 - 勾选 置信区间下界和上界

SPSS结果

化简过程，参考滞后算子公式，可以得到！

α_0 = 估算 = 31.875

算出来的结果即SPSS给我们预测出来的。

因为我们的模型特殊造成的，ARIMA （0,2，0），都为0，所以会这样。

R方为0.999则说明预测效果非常好

ACF和PACF的值都在两条线之内，没有显著异于0（或者说，和0没有显著的差异），所以残差为白噪声。

第5部分_实例3：上证指数预测和实例4GDP增长率预测

上证指数预测 （股票）

1.定义日期为天。
2.作序列图。

3.创建传统模型。





SPSS结果

简单的指数平滑模型。


q检验的p值（显著性）为0，说明拒绝原假设。
说明我们的残差不是白噪声。说明简单指数平滑模型没有把我们的时间序列估计完全。
说明模型存在问题。模型可以存在异常值

残差ACP,PACF存在显著异于0的地方，通过图，也可以得到我们的残差不是白噪声。
这个模型没有完全的识别出这个时间序列的特性。

指数平滑模型的估计值为0.933

878到900都是2769.4927，置信区间的上下界在扩大。
简单的指数平滑模型只能预测一期。后面的数据都是一样的。

剔除异常值重新建模

新增一样东西，然后重新建模。
分析-时间序列预测-创建传统模型-时间序列建模器-变量-时间-条件-离群值-自动检验离群值-然后全选

模型改变了。变成了ARIMA（0,1，14）

说明了模型是能很好估计出我们的数据的。

基本上都在线以内，通过q检验就可以知道残差是白噪声。

论文中需要把等式放上去。即上图，右下角。（与滞后算子公式相关的，需要手算出来。）

4GDP增长率预测

直接套模型的结果

1.定义时间
2.画时间序列图
3.对图进行简单分析。例如波动很大，近几年怎么样了。
4.创建模型，图，选项

预测：结合背景，合理假设。
禁止：硬套模型
不要套模型，要结合背景。
不要不过解释，spss给出的模型，要进行解释。
比如：温特加法模型具有很强的季节性。

本例需要加入阻尼系数，让模型变得平缓。

###课后作业