坐标转换(相机坐标系、世界坐标系、图像物理坐标系、图像像素坐标系)

坐标转换(相机坐标系、世界坐标系、图像物理坐标系、图像像素坐标系)

一般情况下我们所涉及到的坐标包括四个，即相机坐标系、世界坐标系、图像物理坐标系、图像像素坐标系。我们本文的讲解思路是在讲解每个坐标转换之前先讲清楚每个坐标系所表示的含义。本文主要参考由高翔主编的视觉SLAM十四讲第五章相机模型。
相机将三维世界的坐标点(单位为米)映射到二维图像平面(单位为像素)的过程能用很多种模型进行描述，其中最为简单的成为针孔模型。

针孔模型描述(相机坐标系-图像物理坐标系转换)

在初中物理课堂上，我们可能都见过一个蜡烛投影实验:在一个暗箱的前方放着一支点燃的蜡烛，蜡烛的光透过暗箱上的一个小孔投影在暗箱的后方平面上，并在这个平面上形成一一个倒立的蜡烛图像。在这个过程中,小孔模型能够把三维世界中的蜡烛投影到一个二维成像平面。同理,我们可以用这个简单的模型来解释相机的成像过程，如下图1所示：

图1

其中P为三维空间中的实际坐标点，P `为在图像上的二维映射点，O为相机光心，也是针孔模型的针孔。坐标系O-x-y-z为相机坐标系，O`-x`-y`为图像物理坐标系。设物理成像平面到小孔的距离为f(焦距)，我们用(x,y)表示P`的二维坐标，用(X,Y,Z)表示P的三维坐标。则根据三角形相似有：

其中负号表示图象是倒立的，而实际上相机得到的图像并不是倒像，这是因为相机自身的软件会帮助我们翻转这张图象，这里我们等价的把成像平面对称的放到相机前方，如下图2所示：

图2

 则把公式符号去掉得到：

这样我们就完成了相机坐标系到图像物理坐标系的转换，而两个坐标系的单位都是m。

图像物理坐标系-图像像素坐标系

我们先看一下如下图3：

图3

 图像物理坐标系我们在上面已经讲过其含义，就是以相机光心为原点、m为单位构造的二维图像坐标。而图像像素坐标系是以图像左上顶点为原点，横轴为u轴，纵轴为v轴，以像素为单位构造的二维图像坐标系。图中o为图像中点，亦是相机光点，在图像像素坐标系下其坐标为(u0,v0)。p点在图像物理坐标系下的坐标为(x,y)，则可得到上述两个等式以及用矩阵表示的公式(即得到p点在图像像素坐标系下的坐标，其中dx，dy表示像素的物理尺寸)。于是我们就完成了图像物理坐标系到图像像素坐标系的转换。

相机坐标系-图像像素坐标系

我们只需要结合上述两个坐标系的转换即可得到相机坐标系到图像像素坐标系的转换。

结合上述式子我们可以得到：

我们令fx表示f/dx，fy表示f/dy。于是有：

使用矩阵表示为：

其中K为我们通过相机标定得到的相机内参矩阵。注：在此图中u0,vo分别用cx,cy表示。

相机坐标系-世界坐标系

相机坐标系到世界坐标系的转换较为简单，只是相当于把坐标系进行旋转和平移而已。我们是把装甲板中心当作世界坐标系原点，装甲板宽所在方向当作X轴，高所在方向当作Y轴，由原点向正前方作射线，即可得到Z轴。