多信号分类算法（MUSIC）的理解与应用
1 引言
MUSIC算法本质上是对信号进行“正交分解”的过程。一般地，MUSIC算法用于DOA估计，因此本文首先阐述在这种应用场景下对MUSIC算法的相关理解；接着，分析网络上一些仿真代码的不合理性；最后，给出MUSIC在参数估计领域的其他应用。
2 基本算法流程（一维）与代码（搜索版本，非快速运算）
假设线阵有 M M M个阵元，某时刻 t t t各个阵元接收到的复信号组成一个“快拍”，记为 y ( t ) ∈ C M \boldsymbol{y}(t) \in \mathbb{C}^M y(t)∈CM，则 N N N个快拍的接收信号可以表示为 Y ∈ C M × N \boldsymbol{Y} \in \mathbb{C}^{M \times N} Y∈CM×N，且 Y = [ y ( 1 f s ) , ⋯ , y ( N f s ) ] \boldsymbol{Y}=\left[ \boldsymbol{y}(\frac{1}{f_s}), \cdots, \boldsymbol{y}(\frac{N}{f_s})\right] Y=[y(fs1),⋯,y(fsN)]。其中， f s f_s fs为A/D的采样率。
MUSIC算法可以简单地划分为以下三个步骤：
a ) 估计快拍自相关，进而分析信号的“空间相关性”（一般用“平均值”近似“均值”）：
R = E [ y y H ] ≈ R ^ = Y Y H N \boldsymbol{R} = E\left[ \boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^H \right] \approx \boldsymbol{\hat{R}} = \frac{\boldsymbol{Y}\boldsymbol{Y}^H}{N} R=E[yyH]≈R^=NYYH
b ) 自相关矩阵的特征值分解：
R ^ U = U Λ Λ = diag [ λ 1 , ⋯ , λ M ] U = [ u 1 , ⋯ , u M ] \begin{aligned} \boldsymbol{\hat{R}} \boldsymbol{U} &= \boldsymbol{U} \boldsymbol{\Lambda} \\ \boldsymbol{\Lambda} &= \text{diag} \left[ \lambda_1, \cdots, \lambda_M \right] \\ \boldsymbol{U} &= \left[ \boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_M \right] \end{aligned} R^UΛU=UΛ=diag[λ1,⋯,λM]=[u1,⋯,uM]
其中， λ i \lambda_i λi为特征值， u i \boldsymbol{u}_i ui为与之对应的特征向量。假设存在 K K K个“时间不相关”且“空间不相关”的信号，则提取 M − K M-K M−K个小特征值对应的特征向量，组成噪声子空间 U n \boldsymbol{U}_n Un。
c ) 搜索：
生成理想的信号快拍 a ( θ ) ∈ C M \boldsymbol{a}(\theta) \in \mathbb{C}^M a(θ)∈CM, 则MUSIC输出可以表示为：
P M U S I C ( θ ) = 1 a H ( θ ) U n U n H a ( θ ) P_{MUSIC}(\theta) = \frac{1}{\boldsymbol{a}^H(\theta) \boldsymbol{U}_n \boldsymbol{U}^H_n \boldsymbol{a}(\theta)} PMUSIC(θ)=aH(θ)UnUnHa(θ)1
代码，其中 A = [ a ( θ 1 ) , ⋯ , a ( θ L ) ] \boldsymbol{A} = \left[ \boldsymbol{a}(\theta_1) ,\cdots, \boldsymbol{a}(\theta_L)\right] A=[a(θ1),⋯,a(θL)]：
function Pmusic = MUSIC(Y, K, A)
% size(Y) = [M, N]
N = size(Y, 2);
% step1:
R = (Y * Y') / N;
% step2:
[U, D] = eig(R);
[~, idx] = sort(diag(D), 'descend');
U = U(:,idx);
Un = U(:,K+1:end);
% step3:
Pmusic = zeros(size(A, 2));
for ii = 1:size(A, 2)
a = A(:,ii);
Pmusic(ii) = 1 / ( a' * (Un * Un') * a);
end
end
3 空间存在正交分量且时间存在正交分量的信号才能超分辨！！！
注：存在正交分量指两个向量在向量空间中指向的方向存在正交分量，也即这两个向量组成的矩阵是列满秩的。
截至发文时，MUSIC相关文章中最热的文章为《较为详细的MUSIC算法原理及MATLAB实现》 。在该文章中，存在一处仿真BUG，即强制设定频率相同的信号在时间轴上是正交的，具体涉及到的代码为：
A=exp(-1i*2*pi*d.'*sin(theta*derad)); %方向矢量
S=randn(M,K); %信源信号，入射信号
X=A*S; %构造接收信号
上述代码中，从方向矢量 A A A可以看出 k = 2 π λ = 2 π k=\frac{2\pi}{\lambda}=2\pi k=λ2π=2π，则信号波长 λ = 1 \lambda=1 λ=1,频率 f = c λ = 3 × 1 0 8 f=\frac{c}{\lambda}=3\times10^8 f=λc=3×108。空间轴上，由于同频信号入射角度不同，则不同方向的信号存在“正交成分”。而在时间轴上，这些同频信号应该是“相同”的，即 e j 2 π f t e^{j2\pi ft} ej2πft。程序中其强制设置为高斯分布的随机值，使得在时间轴上这些信号存在正交成分，才能实现超分辨。因此，我们将重写一段程序，给出仿真结果，从而验证网上仿真结果的不合理性：
a ) 当 S = randn ( M , K ) S=\text{randn}(M,K) S=randn(M,K)时（仿真BUG）
b )当 S = e j 2 π f ( 0 : N − 1 ) / f s S=e^{j2\pi f(0:N-1)/fs} S=ej2πf(0:N−1)/fs时（实际情况）
4 结论及原因分析
从上述结果中可知，MUSIC算法对信号在时间维度上的相关性也有要求。在《Music算法详解》 中，也提到了这种现象，产生该现象的原因如下：
在求解自相关矩阵的时候，我们使用时间平均近似集总平均，即认为
E [ y y H ] ≈ Y Y H N E\left[ \boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^H \right] \approx \frac{\boldsymbol{Y}\boldsymbol{Y}^H}{N} E[yyH]≈NYYH
但由于同频信号在时间维度是完全相同的，因而其在时间维度不能视为“各态历经的平稳随机过程”，而只有各态历经约束情况下，我们才能够认为时间平均能够近似集总平均，这就是MUSIC算法的问题所在。
5 主程序代码
clearvars;
close all;
clc;
%%
M = 16;
N = 200;
fs = 20e3;
f = 10 * fs / N;
lambda = 3e8/f;
search_Azimuth = -90:1:90;
d = 0.5*lambda;
snr = 20;
source_doa = [0,2,-10];
K = length(source_doa);
%%
Xm = d*(0:M-1).';
lambda = 3e8 / f;
A = zeros(M, K);
for q = 1:K
A(:,q) = exp(-1j*Xm*2*pi*sin(source_doa(q)*pi/180)/lambda);
end
% MK and KN -> MN
noise = (1/sqrt(2)*sqrt(10.^(-snr/10)))*(randn(M,N)+ 1j*randn(M,N));
% s = 1/sqrt(2)*(randn(K, N) + 1j*randn(K,N)); % 仿真bug
s = repmat(exp(1j*2*pi*f*(0:N-1)/fs), K, 1); % 实际情况
Y = A*s + noise; % received data
Ax = zeros(M, length(search_Azimuth));
for q = 1:length(search_Azimuth)
Ax(:,q) = exp(-1j*Xm*2*pi*sin(search_Azimuth(q)*pi/180)/lambda);
end
Pmusic = MUSIC(Y, K, Ax);
figure;
plot(search_Azimuth, db(Pmusic), 'LineWidth', 1);
grid on; axis tight;
xlabel('$\theta$(degree)','Interpreter','latex');