hihocoder #1052 基因工程

传送门：基因工程

这道题拖了好久，一直没有清晰的思路。

当然，K<=N/2时，比较简单。下面我着重讲一下当K>N/2，即前K个字符与后K个字符有重叠时，如何思考这个问题。

为了便于分析，我们把题目要求形式化成如下的数学表示

假设修改后的字符串为S，字符串长度为N，则S满足

S[i] = S[i+N-K]   1 <= i <=K

即“S是以N-K为周期的字符串”。

这样讲对吗？我们回忆一下数学上周期函数的概念，不难发现这个说法不确切，一个有周期性的字符串是无限长的。

为了消除这种数学上的不严格，我们换一种说法

满足

S[i] = S[i+N-K]   1 <= i <=K

且长为N的字符串S，必定是某个以N-K为周期的无限长字符串T的子串。

至此我们找到了一个将问题大大简化了的必要条件，显然这个命题反过来也成立。因而有

对于任意长为N的字符串S

　　S[i] = S[N-K+i]  1 <= i <=K,  0 <=K <=N,

  <=> S是某个以N-K为周期的无限长字符串T的子串

问题转化为：求将一个字符串S转化为某个以N-K为周期的无限长字符串T的子串，所需的最少更改次数。

这个问题思考起来可比原问题清楚多了，而且我们已经把开头说到的两种情况统一起来了。

可以通过频数统计求解：

分别统计

1, 1+N-K, 1+2*(N-K), ...

2, 2+N-k, ...

　　....

N-K, N-K+N-K, ...

上A, G， C， T出现的频数，将其改成频数最大的那个字符，这样所需的总改动次数就是答案。

 

P.S. 这篇随笔是我看了李舜阳的hihoCoder#1052 基因工程 后写的。看他画的图还是不能完全把握这个问题，我觉得从数学上将问题形式化，寻找能够简化问题的必要条件，对我们分析问题极有帮助，也是一种科学的思维方式。我们即使不画图也能透彻地分析这个问题，相反只看李舜阳的图而不借助形式化的推导仍是糊里糊涂。

 1 #include<bits/stdc++.h>

 2 using namespace std;

 3 const int MAX_N=1e3+10;

 4 char s[MAX_N];

 5 const char* item="ACGT";

 6 int main(){

 7     //freopen("in", "r", stdin);

 8     int T, K, N, rep, ans, maxi, cnt[4]; //A, C, G, T

 9     scanf("%d", &T);

10     while(T--){

11         scanf("%s%d", s+1, &K);

12         N=strlen(s+1);

13         rep=N-K;

14         ans=0;

15         for(int i=1; i<=rep; i++){

16             memset(cnt, 0, sizeof(cnt));

17             for(int j=i; j<=N; j+=rep){

18                 for(int k=0; k<4; k++){

19                     if(s[j]==item[k]){

20                         cnt[k]++;

21                         break;

22                     }

23                 }

24             }

25             maxi=0;

26             for(int j=0; j<4; j++){

27                 maxi=max(maxi, cnt[j]);

28                 ans+=cnt[j];

29             }

30             ans-=maxi;

31         }

32         printf("%d\n", ans);

33     }

34     return 0;

35 }