时域卷积定理及频域卷积定理

前言

之前的文章介绍了卷积积分的计算，作为图神经网络的前置知识点，理解卷积定理有助于理解谱图卷积。

卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。维基百科中卷积定理的定义如下：

卷积定理指出，两个函数（或信号）的卷积的傅里叶变换是它们傅里叶变换的逐点乘积。

更一般地说，一个域（例如，时域）中的卷积等于另一个域（例如，频域）中的逐点乘法。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。

连续变量的函数

卷积定理

设两个函数 $g(t)$ 和 $h(t)$ 的傅里叶变换为 $G$ 和 $H$，

$$\begin{array}{rl}G(f)& \triangleq \mathcal{F}\{g\}(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}dt,f\in \mathbb{R}\\ H(f)& \triangleq \mathcal{F}\{h\}(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i2\pi ft}dt,f\in \mathbb{R}\end{array}$$其中， $\triangleq$表示定义为，$\mathcal{F}$是傅里叶变换算子。通常， $\mathcal{F}\{g\}(f)$ 也可以表示为 $\mathcal{F}\{g(t)\}$、 $\mathcal{F}[g(t)]$。$g$ 和 $h$ 的卷积定义为：
$$r(t)=\{g\ast h\}(t)\triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t-\tau )h(\tau )d\tau .$$这里，$\ast$ 表示卷积。两个函数其他形式的卷积有$g(t)\ast h(t)$，博文卷积积分的计算有助于理解卷积。

卷积定理表述为：
$$R(f)\triangleq \mathcal{F}\{r\}(f)=G(f)H(f).f\in \mathbb{R}(1)$$其中$R(f)$也可以写成如下形式：$R(f)\triangleq \mathcal{F}[r(t)]\triangleq \mathcal{F}[h(t)\ast g(t)]$。

证明

根据傅里叶变换及卷积积分有：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[g(t)\ast h(t)]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(t)\ast h(t)e^{-i\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(\tau )\ast h(t-\tau )d\tau e^{-i\omega t}dt(卷积展开)\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e^{-i\omega t}dtg(\tau )d\tau (1)\\ & \end{array}$$令$x=t-\tau$，则$t=x+\tau$，$dt=dx$，所以：
$$\begin{array}{rl}(1)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(x)e^{-i\omega (x+\tau )}dxg(\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(x)e^{-i\omega x}{e}^{-i\omega \tau }dxg(\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(x)e^{-i\omega x}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-i\omega \tau }dxg(\tau )d\tau (x是在\tau 的积分中是常量,可以移出来)\\ & =g(\omega )\cdot h(\omega )\end{array}$$其中$\omega =2\pi f$。
证毕。$■$

小结

上述为时域卷积定理的公式及证明，频域卷积定义与之类似。所以连续变量函数的卷积定理为：

时域卷积定理为：$\mathcal{F}[g(t)\ast h(t)]=G(\omega )\cdot H(\omega )$

频域卷积定理为：$\mathcal{F}[g(t)\cdot h(t)]=\frac{1}{2\pi }G(\omega )\ast H(\omega )$

离散变量序列

卷积定理

对于离散变量序列，有着与连续变量函数类似的定理，这里 $\mathcal{F}$ 表示离散傅里叶变换算子，设两个序列 $g[n]$ 和 $h[n]$ 的傅里叶变换为 $G$ 和 $H$：
$$\begin{array}{rl}G(f)& \triangleq \mathcal{F}\{g\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi fn},f\in \mathbb{R}\\ H(f)& \triangleq \mathcal{F}\{h\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}.f\in \mathbb{R}\end{array}$$

序列 $g$ 和 $h$ 的离散卷积的定义为：

$$r[n]\triangleq (g\ast h)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]\cdot h[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-m]\cdot h[m].$$ $(g\ast h)[n]$也可以表示为 $g[n]\ast h[n]$。

离散序列的卷积定理为：

$R(f)=\mathcal{F}\{g\ast h\}(f)=G(f)H(f)$ \quad 或
$R(\omega )=\mathcal{F}\{g\ast h\}(\omega )=G(\omega )H(\omega )$

证明

本证明来自劉奕文教授的Lecture《The Discrete-Time Fourier Transform and
Convolution Theorems: A Brief Tutorial》(pdf)

$$\begin{array}{rl}Y(\omega )& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }y[n]e^{-j\omega n}\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }(\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]\cdot h[n-m])e^{-j\omega n}\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m](\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]e^{-j\omega n})\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m](\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]e^{-j\omega (n-m)}{e}^{-j\omega (m)})\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]e^{-j\omega (m)}(\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]e^{-j\omega (n-m)})\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]e^{-j\omega (m)}H(\omega )\\ & =G(\omega )H(\omega )\end{array}$$$■$

小结

上述为时域卷积定理的公式及证明，频域卷积定义与之类似。所以离散变量序列的卷积定理为：

时域卷积定理为：$\mathcal{F}[g\ast h]=G(\omega )\cdot H(\omega )$

频域卷积定理为：$\mathcal{F}[g\cdot h]=\frac{1}{2\pi }G(\omega )\ast H(\omega )$