频域卷积定理的证明 乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi

符号说明：

符号	说明
$\tilde{f}=F[f]$	$f$ 的傅里叶变换为 $\tilde{f}$
$f=F^{-1}[\tilde{f}]$	$\tilde{f}$ 的傅里叶逆变换为 $f$

定理：

$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 乘积的傅里叶变换等于 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的傅里叶变换的乘积的卷积乘 $\frac{1}{2\pi }$，即

$$F[f_1\cdot f_2]=\frac{1}{2\pi }F[f_1]\ast F[f_2]$$

证明:

设 $F_1(\omega )=\mathcal{F}\left[f_1(t)\right],F_2(\omega )=\mathcal{F}\left[f_2(t)\right],I\mathcal{F}$ 表示傅里叶逆变换, 则
$$\begin{array}{rl}{F}^{-1}\left[F_1(\omega )\ast F_2(\omega )\right]& =F^{-1}\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\mu )F_2(\omega -\mu )\mathrm{d}\mu \right]\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\mu )F_2(\omega -\mu )d\mu \right]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\mu )F_2(\omega -\mu )e^{i\mu t}{e}^{i(\omega -\mu )t}d\omega \right]\mathrm{d}\mu \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\mu )e^{i\mu t}\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega -\mu )e^{i(\omega -\mu )t}d(\omega -\mu )\right]\mathrm{d}\mu \\ & =f_2(t){\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\mu )e^{i\mu t}\mathrm{d}\mu \\ & =2\pi f_1(t)f_2(t)\end{array}$$