含参积分求导/积分上限函数求导/

定理： 设 $f(x,y),f_y(x,y)$ 都是闭矩形 $[a,b]\times [c,d]$,上的连续函数，又设 $a(y),b(y)$ 是在 $[c,d]$ 上的可导函数，满足 $a⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽b$，则函数

$$F(y)={\int }_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

在 $[c,d]$ 上可导，并且在 $[c,d]$ 上成立

$$F^{\prime }(y)={\int }_{a(y)}^{b(y)}{f}_y(x,y)\mathrm{d}x+f(b(y),y)b^{\prime }(y)-f(a(y),y)a^{\prime }(y)$$

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说实话这个定理看起来容易让人迷惑，下面举个例子吧

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例： 设

$$F^{\prime }(y)={\int }_0^y\frac{\ln (1+xy)}{x}\mathrm{d}x,y>0$$

求 $F^{\prime }(y)$

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(y)& ={\int }_0^y\frac{1}{1+xy}\mathrm{d}x+\frac{\ln (1+y^2)}{y}\\ & ={\left(\frac{\ln (1+xy)}{y}\right)|}_0^y+\frac{\ln (1+y^2)}{y}\\ & =\frac{2}{y}\ln (1+y^2)\end{array}$$