变限积分函数的求导

一、定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，设$x$为区间$[a,b]$上的一点，考察定积分
$${\int }_a^{x}f(x)dx={\int }_a^{x}f(t)dt$$
如果上限$x$在区间$[a,b]$上任意变动，则对于每一个取定的$x$值，定积分${\int }_a^{x}f(t)dt$都有一个对应值，所以它在区间$[a,b]$上定义了一个函数，记为
$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$
该函数就是积分上限函数。

二、变限积分函数求导公式

如果函数$f(x)$连续，$\varphi (x)$ 和$\phi (x)$可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为
$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_{\varphi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)$$
[推导过程]

记函数$f(x)$的原函数为$F(x)$，则有
$$F^{\prime }(x)=f(x)$$
或
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
则对$\Phi (x)={\int }_{\varphi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt$由牛顿-莱布尼茨公式${\int }_a^{b}f(x)=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$可得
$$\Phi (x)={\int }_{\varphi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt=F(x){|}_{\varphi (x)}^{\phi (x)}=F[\phi (x)]-F[\varphi (x)]$$
由函数和的求导法则
$$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$$
可得
$${\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}{\int }_{\varphi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt=\{F[\phi (x)]-F[\varphi (x)]{\}}^{\prime }=\{F[\phi (x)]{\}}^{\prime }-\{F[\varphi (x)]{\}}^{\prime }$$

由复合函数的求导法则
$$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$$
可得
$${\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=\{F[\phi (x)]{\}}^{\prime }-\{F[\varphi (x)]{\}}^{\prime }=F^{\prime }[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-F^{\prime }[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)$$
由(2)式$F^{\prime }(x)=f(x)$可知$F^{\prime }[\phi (x)]=f[\phi (x)]$ $F^{\prime }[\varphi (x)]=f[\varphi (x)]$，则(8)式可改写为
$${\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=F^{\prime }[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-F^{\prime }[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)$$

三、定理

定理1 如果函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则积分上限函数$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$在$[a，b]$上具有导数，且导数为：
$${\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

四、应用

求极限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt}{x}$$
令函数$f(x)={\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt$，则函数 $f(x)$ 在$x=0$ 处连续，运用洛必达法则(L’Hôpital’s rule)则有
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt}{x}=\underset{n\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x^{\prime }}=\underset{n\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$$
这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式(3)可得
$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt=e^{(2x{)}^2}(2x{)}^{\prime }-e^{x^2}(x{)}^{\prime }=2e^{4x^2}-e^{x^2}$$

则有
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2e^{4x^2}-e^{x^2}=1$$