matlab用辛普森公式求积分_变限积分函数求导以及高阶导数求法的一些总结

感谢 @聚创考研 的张帆老师，给我上了一堂生动的课。特此总结一下课上求导数的方法（怕自己忘了）。

1.变限积分函数求导

变限积分函数求导简单的分为三类:

第一类(或者形如

这种)可以直接得到

,第二、第三类被积函数里有x,由于需要对x求导，因此不能直接像第一类一样简单，需要转化一下，其中，第三类需要换元，换元三步走：

其中①和③的符号可以抵消

利用换元法，可以推导出以下公式：

从而

将这个公式应用到上述的公式③，我们会发现，公式③变成了公式②，

因此我们得到以下式子:

将这些式子记牢可以在考试时节省大量时间。

针对复杂的变限积分求导则有:

例题一、

由恒等式④可以将根式里面的

提取到根式外面的e里，简化我们的步骤，因此可以得到：

由于

是非零因式，可以提取到外面：

接下来使用洛必达法则就十分简单了

2.利用数列极限求高阶导数

例题一、

求

一般的方法是不停得求导，然后找规律，这里提供一个公式：

由这个公式带入可得

所以这道题答案为

为什么会这样？原因是上述公式中的

即

在求多次导后会变成0，由此我们总结出一个规律当

时，使用上述技巧可以很快求得高阶导数。

例题二、

求

这道题显然不能用上述的公式了，然而，还有一种方法比上述公式更加快，这种方法

分为三个步骤：

<1>将函数进行麦克劳林展开

<2>寻找

的系数

<3>系数

n！

这个方法快就快在，我们通过非正常途径推导出函数的麦克劳林展开式，由于麦克劳林展开式里面是包含有0处的高阶导项的，因此可以加以利用。

而这道题的麦克劳林展开式我们将通过数列收敛极限的形式推出。让我们看看一下两个特殊无穷级数的收敛：

很明显，这样的数列是能够被我们拿来利用而获得麦克劳林展开式的，将

带入上式可以得到

由于这个展开式里没有

项，系数自然为0，乘以3！还是0，所以

（当然，用奇函数求出这个0答案，其实更快，这里不过举个例子，关于奇偶函数放到下章总结）

例题三、

求

这道题可以用例题一的方法做，只不过会慢一点，要获取展开式里的

项的系数，只要获得

展开式里的

项系数即可，故结果是

我们也可以用这道题的方法做例一，得到：

,为求20次导数的值，则

,系数为

,乘以

之后得到