先验概率、后验概率、似然估计、条件概率

 

   此为Bayesian先生，敬仰吧，同志们！

 

    先验（A priori；又译：先天）在拉丁文中指“来自先前的东西”，或稍稍引申指“在经验之前”。近代西方传统中，认为先验指无需经验或先于经验获得的知识。它通常与后验知识相比较，后验意指“在经验之后”，需要经验。这一区分来自于中世纪逻辑所区分的两种论证，从原因到结果的论证称为“先验的”，而从结果到原因的论证称为“后验的”。

    先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的 ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。

先验概率的分类：

利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；

当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。

后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。

先验概率和后验概率的区别：

先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；

先验概率的计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多的数理统计知识。

 

下面转自其他博客

先验分布：根据一般的经验认为随机变量应该满足的分布，eg:根据往年的气候经验（经验），推测下雨（结果）的概率即为先验概率；
后验分布：通过当前训练数据修正的随机变量的分布，比先验分布更符合当前数据，eg: 有乌云（原因、观测数据）的时候下雨（结果）的概率即为后验概率；
似然估计：已知训练数据，给定了模型，通过让似然性极大化估计模型参数的一种方法，eg: 下雨（结果）的时候有乌云（观测数据、原因等）的概率即为似然概率；
后验分布往往是基于先验分布和极大似然估计计算出来的。

贝叶斯公式（后验概率公式、逆概率公式）：

Θ：决定数据分布的参数（原因）

x: 观察得到的数据（结果）

p(x):  证据因子evidence

p(Θ): 先验概率

p(Θ|x): 后验概率

p(x|Θ): 似然概率

后验概率＝似然函数×先验概率/证据因子，证据因子（Evidence，也被称为归一化常数）可仅看成一个权值因子，以保证各类别的后验概率总和为1从而满足概率条件。

备注：

联合概率：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

条件概率：P(A|B)=P(AB)|P(B)

贝叶斯公式：P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)

看了很多张五常的文章以后，思考一些经济学或者统计学的问题，都试着从最简单处入手。
一次，在听一位英国帝国理工大学的教授来我们学校讲学，讲的主要是经济计量学的建模，以及一些具体应用实例，没想到听报告过程中，一直在思考一道最简单的概率问题。关于“抛硬币”试验的概率问题。
问题是这样的：
1、多次抛硬币首先是一个贝努利试验，独立同分布的
2、每次抛硬币出现正、反面的概率都是1/2
3、当然硬币是均匀同分布的，而且每次试验都是公正的
4、在上述假设下，假如我连续抛了很多次，例如100次，出现的都是正面，当然，稍懂概率的人都知道，这是一个小概率事件，但是小概率事件是可能发生的。我要问你，下次也就是我抛第101次，出现正、反的概率是不是相等。我认为是不相等的，出现反面的概率要大于正面。我的理由是，诸如“抛硬币”等独立同分布试验都有无数人试验过，而且次数足够多时，正、反面出现的概率应该是逼近1/2的。也就是说，这个过程，即使是独立同分布的试验它也是有概率的。
5、提出这个问题之后，我请教了很多同学和老师，大部分同学一开始都是乍一听这个问题，马上对我的观点提出批判，给我列条件概率的公式，举出种种理由，不过都被我推翻了
很巧的是，没几天，我在图书馆过期期刊阅览室找到一篇关于独立同分布的newman定理
推广到markov链过程的文章，见97年《应用统计研究》，我看不大懂，复印了下来，去请教
我们系数理统计方面比较权威的老师，他的答复我基本满意。他将数理统计可以分为两大类：频率统计学派和贝叶斯统计学派。目前，国内的数理统计主要是频率统计。又给我分析了什么是 先验概率，先验概率和条件概率有什么区别，他认为：在“抛硬币”试验当中，硬币的均匀分布和抛的公正是先验条件或先验概率，但是抛100次正面却是条件概率，接着他又解释了概率的记忆功能，他讲当贝努利试验次数不够大的时候，它不具有记忆功能，次数足够大的时候，也就是服从二项分布时，具有记忆功能。这时，连续抛很多次正面就可以算作是先验概率。
但这样，我又不懂了。我认为，即使只刚抛过1次，如果考虑这个过程的话，对第二次的结果也应该是有影响的，你们认为呢？这个问题，这位老师也没能解释好。
研究这个问题的启示或者意义：
1、推翻了一些东西，可能很大，也可能是我牛角尖钻的太深了
2、一个试验，我在一间屋子里做“抛硬币”的试验，我“一不小心”连续抛出了100次正面，这里请你不要怀疑硬币质地的均匀和我抛法的不公正，这时，你推门进了实验室，我和你打赌，下次抛硬币会出现反面，给你很高的赌注。因为我知道我已经抛了100次正面，在这个过程中正反面出现的概率是要往1：1均衡的。但是我不会告诉你，我已经连续抛了100次正面。你当然认为正反面出现的概率是1：1，而且你的理论依据也是正确的。但是，你的正确的理论可能会使你输钱的。
3、研究这个问题，我是想提出两个问题：其一，正确的理论可能得不出正确的结果，其二，信息的不对称问题。

 

 

验前概率就是通常说的概率，验后概率是一种条件概率，但条件概率不一定是验后概率。贝叶斯公式是由验前概率求验后概率的公式。
举一个简单的例子：一口袋里有3只红球、2只白球，采用不放回方式摸取，求：
⑴ 第一次摸到红球（记作A）的概率；
⑵ 第二次摸到红球（记作B）的概率；
⑶ 已知第二次摸到了红球，求第一次摸到的是红球的概率。
解：⑴ P(A)=3/5，这就是验前概率；
⑵ P(B)=P(A)P(B|A)+P(A逆)P(B|A逆)=3/5
⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是验后概率。

 

转载自：tibetanmastiff

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