列主元高斯消去法数学原理及超级纯手工Python实现

一、引言

从高斯消去法，我们看到还是有缺陷，高斯消去法中，当对角元素=0时，消去无法进行，当对角元素很小的时候，导致其他它元素数量级严重增长和舍入误差扩散1，使结果不可靠。因此引出了列主元高斯消去法。

解决办法：交换行，避免小主元。

在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元，通过方程对换将其换到对角线上，然后进行消元。

二、python代码实现

第一步：找主元交换行：

n=A.shape[0]
for i in range(n-1):
        max_=0
        for j in range(i,n):
            if np.abs(A[j,i])>max_:
                max_=np.abs(A[j,i])
                maxn=j
        ##将第i行与第maxn行互换
        exchange=A[i].copy()
        A[i]=A[maxn]
        A[maxn]=exchange

结果如图所示：

原矩阵：

换完后：

 这块一定要注意！！！！！！一定得copy()不然交换最后一行不会改变。还有一点在找最大主元的时候不建议掉函数，多少还是有问题的！可以思考下面这个图片,但是在消元中出现的。

剩下的消元和回代和消去法思想一样，但是我们要注意A是增广矩阵了！！！

（二）函数代码：

def sloveeq(A,a):#A是增广矩阵
    if a.shape[0]!=a.shape[1]:
        print('系数矩阵不是方阵')
        sys.exit(0)
    n=A.shape[0]
    for i in range(n-1):
        max_=0
        for j in range(i,n):
            if np.abs(A[j,i])>max_:
                max_=np.abs(A[j,i])
                maxn=j
        ##将第i行与第maxn行互换
        exchange=A[i].copy()
        A[i]=A[maxn]
        A[maxn]=exchange
        #消元
    for k in range(i+1,n):
            q=A[k,i]/A[i,i]
            A[k,:]= A[k,:]-q*A[i,:]
    #回代
    b=A[:,n]
    b[n-1]=A[n-1,n]/A[n-1,n-1]
    for i in range(n-2,-1,-1):
        b[i]=(b[i]-np.dot(A[i,i+1:n],b[i+1:n]))/A[i,i]
    return b

三、实验：

a=np.array([[0.001,2,3],[-1,3.712,4.623],[-2,1.072,5.643]])
c=np.array([1.0,2.0,3.0])
A= np.insert(a, 3, values=c, axis=1)
X=sloveeq(A,a)
X

结果如下：

（-0.49039646, -0.05103518,  0.3675202）