论文速读16：Hyperspectral image denoising with superpixel segmentation and low-rank representation

方法

HSI退化模型：$y=x+e+n$，$e$表示稀疏误差项，大小均为$M\times N\times B$.

Construction of homogeneous regions

分割通常是将图像分割成同质区域的穷举(exhaustive)过程，并且已经提出了不同的技术用于HSI的分割，例如分水岭(watershed)分割和分层(hierarchical)分割。超像素通常被定义为感知上均匀的区域，并且形状和大小可以根据不同的空间结构而定，并且每个超像素可以被视为具有自适应形状的非重叠区域。每个超像素内的像素往往共享相同的光谱特征。

最新的基于图的SS技术包括NCut、FH和ER，但是NCut耗时，FH生成的超像素形状大小不规则。ER倾向于形成均匀和紧凑的簇，这倾向于在视觉边界上分割图像，并倾向于产生仅包含一个单个对象的超像素。本文采用ER技术。

[27] Entropy rate superpixel segmentation
Code：https://github.com/mingyuliutw/EntropyRateSuperpixel

第一个主成分中采用了ER，将HSI分割成K(超像素个数)个同质(homogeneous)区域。

SS–LRR for HSI denoising

在HSI中实现PCA和SS后，HSI被分割成均匀区域，每个均匀区域中的光谱被重新整形成矩阵$Y\in {\mathbb{R}}^{B\times P}$，其中$P$表示每个均匀区域中的像素数。HSI的每个均匀区域的相应噪声模型可以写成$Y=X+E+N$.

优化问题：$$\underset{\mathbf{X},\mathbf{E}}{\min }\mathrm{rank}(\mathbf{X})+\lambda \Vert \mathbf{E}{\Vert }_0,s.t.\mathbf{Y}=\mathbf{X}+\mathbf{E}+\mathbf{N}$$上式为高度非凸的优化问题，将其改为$$\underset{\mathbf{X},\mathbf{E}}{\min }\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{\ast }+\lambda \Vert \mathbf{E}{\Vert }_1,\text{ s.t. }\Vert \mathbf{Y}-\mathbf{X}-\mathbf{E}{\Vert }_F\le \delta$$

其中$\delta$表示常数，与高斯噪声$N$的标准差有关，Frobenius范数等于奇异值向量的Euclidean范数，$\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{\ast }$为矩阵$X$的核范数，它是矩阵$X$的奇异值之和。

求其惩罚(penalized)形式：$$\underset{\mathbf{X},\mathbf{E}}{\min }\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{\ast }+\lambda \Vert \mathbf{E}{\Vert }_1+\frac{1}{2\mu }\Vert \mathbf{Y}-\mathbf{X}-\mathbf{E}{\Vert }_F(7)$$

其中$\mu$为常数，(7)的性能与两个参数$\lambda$和$\mu$高度相关，本文中$\lambda =\frac{1}{\sqrt{max(B,P)}}$，$\mu =(\sqrt{B}+\sqrt{P})\delta$，利用交替方向法(ADM)求解上述优化问题，于是等价于交替求解两个子问题，直到满足收敛准则$$\begin{array}{rl}{\mathbf{X}}_{k+1}& =\arg \underset{\mathbf{X}}{\min }\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{\ast }+\frac{1}{2\mu }{\Vert \mathbf{Y}-\mathbf{X}-{\mathbf{E}}_k\Vert }_F\\ & ={\mathcal{D}}_{\mu }\left(\mathbf{Y}-{\mathbf{E}}_k\right)\\ {\mathbf{E}}_{k+1}& =\arg \underset{\mathbf{X}}{\min }\lambda \Vert \mathbf{E}{\Vert }_1+\frac{1}{2\mu }{\Vert \mathbf{Y}-{\mathbf{X}}_{k+1}-\mathbf{E}\Vert }_F\\ & ={\mathcal{S}}_{\lambda \mu }\left(\mathbf{Y}-{\mathbf{X}}_{k+1}\right)\end{array}$$

其中${\mathcal{D}}_{\tau }(\cdot )$为奇异值阈值算子(SVT)，${\mathcal{D}}_{\tau }(\mathbf{X})=\mathbf{U}{\mathcal{S}}_{\tau }(\Sigma ){\mathbf{V}}^{\mathbf{T}}$，$\mathbf{X}=\mathbf{U}\Sigma {\mathbf{V}}^{\mathbf{T}}$为奇异值分解，${\mathcal{S}}_{\tau }[x]=sgn(x)\max (|x|-\tau ,0)$为收缩算子。总结如下：

由于每个超像素都可以看作是一个非重叠区域，其形状是自适应的，我们可以通过将每个干净的同质区域放在一起来获得去噪的HSI.

未来，我们将考虑使用Schatten p-范数优化框架代替核范数，并采用全变差正则化来考虑HSI的空间纹理。