从傅里叶变换到小波变换(浅显易懂)

傅里叶变换

简单来说，傅里叶变换就是给我们提供了另外一种看待世界的方式。如下图所示：

就像图中坐标轴一样，如果我们要描述存在于坐标空间里的α向量，在左边空间中，它的坐标是α(x,y,z)，那么，对于我们来说，有没有另外一种方式可以使我们用更简单的数据来表达α向量呢，答案是有，像右边图中所展示的那样，我们可以通过α来建立一个新的空间坐标系，以α为x轴，那么α的坐标就可以表示为α(x1,0,0)。从这个例子中我们可以看到，通过改变看待向量的坐标轴，我们获得了所需数据的简化表示。傅里叶变换也是如此，他的核心思想就是提供了一组基函数（“坐标轴”），将原先的时间坐标轴(时间领域)换成了频域坐标轴(频率领域)。

频域

日常我们所理解的世界的事物，随着时间生长，消逝。这就是以时间作为参照来观察动态世界的方法，我们称其为时域分析。那么如果从另外一种角度来观察世界，会怎么样呢？如果我们把世界看作是静止的。把物体的各个随时间转化的状态拆分为不同的组成成分，并贯穿整个过程。这就是频域。
这是信号在时域上的变化：

这是信号经过傅里叶变换，在频域上的变化：

我们可以看到，在经过傅里叶变换之后，信号被拆解成了不同的正弦波，这就是傅里叶变换的思想，如果说第一个图片中的基函数是坐标轴的话，那么傅里叶变换就相当于重新提出了一个基函数作为新的“坐标轴”。从而得到了信号的频域图像：

可以说，傅里叶为我们分析信号提供了一个全新的角度。有了傅里叶变换，我们可以获得信号更加丰富的信息，可以对信号进行降维存储，重构等等。
傅里叶变换公式：

傅里叶变换的缺点

上节说道，傅里叶变换为我们提供了另一个看待事物的角度，它已经足够好了，但是还是不完美，因为从频域图像上看，我们无法获得信号在每个时间段上的频谱。也就是说我们虽然能获得信号的整体频谱信息，但是我们无法获得在各个时间段上的频谱信息。

举个例子：

从图中我们可以看到，对于上图三种不同的信号来说，即使第二幅和第三幅的信号随时间变化完全不同，但是在经过傅里叶变换得到的频域图中，他们却有极高的相似度，这就是因为傅里叶变换在处理非平稳信号时有天生的缺陷，他只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是无法获得各成分出现的时刻。

短时傅里叶变换

于是为了改进傅里叶变换所产生的缺点，发展出了短时傅里叶变换，也就是加窗傅里叶变换，它把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再经过傅里叶变换，就可以获得在那个时间点上出现了什么频率。
但是短时傅里叶变换也有缺陷，

举个例子：

如果窗口太窄，时间分辨率高了，但是频域分辨率就会降低。

如果窗口太宽，频域分辨率高了，但是时间分辨率就会降低。而且门窗的宽度难以设置，且设置好就无法改变，非常不利于非稳态信号的处理。

小波变换

小波变换公式:

终于到了小波变换，所谓小波，就是基函数不同。小波变换的基函数，从傅里叶变换中的无限长无限能量的正弦波，改成了有限长会衰减的小波。

从公式中可以看出，小波变换有两个变量：尺度a和平移量p，尺度a控制小波函数的伸缩，平移量p控制小波函数的平移，尺度对应于频率（反比关系），平移量p对应于时间。小波变换的提出标志着，我们可以同时在时域和频域的领域中分析信号。为我们数据处理带来了很大的帮助，下图可以直观感受到小波变换对于傅里叶变换的优点：

小波变换步骤

1、取一个小波与信号的初始部分进行比较
2、计算相关因子C，C代表小波和这段数据的相关性，即C越大，两者越相似；

3、移动小波，重复步骤1和2，一直遍历整个数据；

4、对小波进行不同尺度的缩放，重复步骤1到3；

5、在所有尺度上重复上述步骤；

连续小波变换（CWT）

公式：

连续小波变换是信号F(x)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间求和的结果，CWT的变换结果是许多小波系数C，而这些系数是缩放因子sacle和平移因子position的函数。
CWT缺点：数据量大、数据冗余性，不利于分析处理

离散小波变换（DWT）

如果缩放因子和平移参数都选择为2的j次方的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，这样就会使分析的数据量大大减小，这就是DWT。
离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法时Mallat于1988年提出的，成为马拉算法。

其中一个为低通滤波器，通过该滤波器可以得到信号的近似值A(Approximations),另一个为高通滤波器，通过该滤波器可以得到信号的细节值D(Detail)。
在实际信号中，有效信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只是一个修饰细节作用，且大多数噪音也是分布在高频分量中。因此可以用DWT用来数据降噪。初次之外，经过滤波器之后再经过下采样，可以减少信号数据大小，实现数据降维和融合。

DWT处理二维图像，先按行再按列的顺序进行处理。


得到四个图像。分别是：
LL:水平低通、垂直低通子带信号，他是图像的近似表示
LH:水平低通、垂直高通子带信号，表示图像的水平方向特异性
HL:水平高通、垂直低通的子带信号，表示图像的垂直方向的特性
HH:水平高通、垂直高通的子带信号，表示图像的对角边缘特性
其实可以理解为分别代表了图像的整体特征，水平特征、垂直特征、对角特征。从而用于数据降维，融合、去噪。