FreeSurfer数据质量指标：欧拉数Euler Number

欧拉数

在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量，对于一大类拓扑空间有定义。

其中V,E和F分别是点，边和面的个数。

对于所有和一个球面同胚的多面体，

这就是欧拉公式，翻译成白话就是在一个不和自己交叉的多面体中(和球面球面同胚)，面(Face)的个数，加顶点(Vertice)的个数，减边(Edge)的个数永远等于 2。

例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2，而对于四面体我们有4 − 6 + 4 = 2。该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

FreeSurfer欧拉数计算原理

Freesurfer将皮层表面用一个有限元素模型表示，使用三角形来覆盖皮层表面。一旦知道每个三角形顶点的xyz，就有可能以面积、距离、曲率和厚度来描述整个皮质表面的特征。

在Freesurfer重建的整个流程(recon-all)中有一个步骤叫做Tessellation，也就是把三角形镶嵌到皮层上，如果图像质量不好就有可能出现holes和handles, 这一步结果保存在?h.orig.nofix文件中，可以在这里计算欧拉数。之后的流程中Freesurfer会对这些Topological Defects进行修复，得到的结果保存在?h.orig文件中。

Freesurfer中计算欧拉数就是将orig.nofix文件中的顶点/边/面的数量带入欧拉公式。另外由于闭可定向曲面的欧拉数还可以通过它们的亏格g来计算：

genus（亏格，这里可以简单的理解成洞️）

也就是说F-E+V=2-2g，所以还能推断出做Tessellation时亏格️的数量。

欧拉数越高(less negative)，FreeSurfer皮质重建的数据质量就越高。因为欧拉数在不同的人群中（即青少年与成人），以及不同的scanner和序列中是不同的，所以没有一个固定的阈值来确定数据是否可用(有文章推荐-270)，一种策略是用判断outlier的方法确定欧拉数的阈值，另一种思路是将其放在模型中加以控制。

2018年Neuroimage的文章(Rosen, et.al., 2018)表明，欧拉数与各样本的人工评分有一致的关联性。此外，欧拉数可用于识别被人类评分者评为 "不可用 "的图像，准确度极高(AUC：0.98-0.99)。也有人提出，欧拉数可用于优化和规范不同站点之间扫描(Chalavi, Simmons, Dijkstra, Barker, & Reinders, 2012)。

另外，最近Neuroimage的文章(Monereo-Sánchez, et.al., 2021)表明，人工QC仍然是对大脑分割和分割的质量控制最可靠的解决方案，但有必要采用相关的指标来降低人工QC主观性。欧拉数或MRIQC提供了一个高效和可重复的替代方案。此外，只基于数据找outier的方法并不是有效的QC手段。

欧拉数的获取

FS 6.0版本以后已经将亏格️数量保存在了aseg.stats文件中，根据公式算欧拉数即可

还有两种算法(5.3可用):

1) 对?h.orig.nofix使用mris_euler_number

注：这里写的2g-2有可能是在这个版本中(v5.3)写反了，2-2*17=-32，其他版本是否如此待查。

2) 用mri_segstats命令时带上 --euler

在命令行会显示

在输出的结果中同样会显示亏格️数量

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Reference

• https://www.shuxuele.com/geometry/eulers-formula.html

• https://bookdown.org/u0243256/tbicc/freesurfer.html#euler

• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E7%A4%BA%E6%80%A7%E6%95%B0

• Rosen, A. F., Roalf, D. R., Ruparel, K., Blake, J., Seelaus, K., Villa, L. P., ... & Satterthwaite, T. D. (2018). Quantitative assessment of structural image quality. Neuroimage, 169, 407-418.

• Monereo-Sánchez, J., de Jong, J. J., Drenthen, G. S., Beran, M., Backes, W. H., Stehouwer, C. D., ... & Jansen, J. F. (2021). Quality control strategies for brain MRI segmentation and parcellation: Practical approaches and recommendations-insights from the Maastricht study. NeuroImage, 237, 118174.

• https://www.mail-archive.com/freesurfer@nmr.mgh.harvard.edu/msg67545.html

• https://www.mail-archive.com/freesurfer@nmr.mgh.harvard.edu/msg58748.html