作业11：优化算法比较

1. 编程实现图6-1，并观察特征

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 
 
# https://blog.csdn.net/weixin_39228381/article/details/108511882
 
def func(x, y):
    return x * x / 20 + y * y
 
 
def paint_loss_func():
    x = np.linspace(-50, 50, 100)  # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
    y = np.linspace(-50, 50, 100)  # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = func(X, Y)
 
    fig = plt.figure()  # figsize=(10, 10))
    ax = Axes3D(fig)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
 
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()
 
 
paint_loss_func()

运行结果：

特征：有全局最小值、是一个向x轴方向延伸的“碗”状函数

2. 观察梯度方向

特征：Y轴方向梯度大，X轴方向梯度小；很多位置的梯度并没有指向最小位置(0,0)

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
 
 
class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
 
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]
 
 
class Momentum:
    """Momentum SGD"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
            params[key] += self.v[key]
 
 
class Nesterov:
    """Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] *= self.momentum
            self.v[key] -= self.lr * grads[key]
            params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
            params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]
 
 
class AdaGrad:
    """AdaGrad"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class RMSprop:
    """RMSprop"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
        self.lr = lr
        self.decay_rate = decay_rate
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] *= self.decay_rate
            self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class Adam:
    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""
 
    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)
 
        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])
 
            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)
 
 
def f(x, y):
    return x ** 2 / 20.0 + y ** 2
 
 
def df(x, y):
    return x / 10.0, 2.0 * y
 
 
init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0
 
optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)
 
idx = 1
 
for key in optimizers:
    optimizer = optimizers[key]
    x_history = []
    y_history = []
    params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
 
    for i in range(30):
        x_history.append(params['x'])
        y_history.append(params['y'])
 
        grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
        optimizer.update(params, grads)
 
    x = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.arange(-5, 5, 0.01)
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = f(X, Y)
    # for simple contour line
    mask = Z > 7
    Z[mask] = 0
 
    # plot
    plt.subplot(2, 2, idx)
    idx += 1
    plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
    plt.contour(X, Y, Z)  # 绘制等高线
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.xlim(-10, 10)
    plt.plot(0, 0, '+')
    plt.title(key)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
 
plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0)  # 调整子图间距
plt.show()

收敛效果排序依次为AdaGrad、Adam、Momentum、SGD。

4. 分析上图，说明原理（选做）

1） 为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

是因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。

2）Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？

SGD
SGD是深度学习中最常见的优化方法之一，虽然是最常使用的优化方法，但是却有不少常见的问题。

learning rate不易确定，如果选择过小的话，收敛速度会很慢，如果太大，loss function就会在极小值处不停的震荡甚至偏离。每个参数的learning rate都是相同的，如果数据是稀疏的，则希望出现频率低的特征进行大一点的更新。深度神经网络之所以比较难训练，并不是因为容易进入局部最小，而是因为学习过程容易进入马鞍面中，在这种区域中，所有方向的梯度值几乎都是0。

Momentum(动量)

Momentum借助了物理中的动量的概念，即前几次的梯度也会参与计算。为了表示动量，引入一个新的变量V，V是之前的梯度的累加，但是在每个回合都会有一定的衰减。它的特点是当前后梯度方向不一致时，能够加速学习，前后梯度方向一致时，能够抑制震荡。

Adagrad

在上述的优化算法中，参数的步长都是相的，那么能否为不同的常数设置不同的步长呢，对于梯度大的参数设置小的步长，对于梯度小的参数，设置大的步长。类比于在缓坡上面，我们可以大步长的前进，在陡坡上面，这需要小步长的前进。adagrad则是参考了这个思路。