Day38——Dp专题

DP专题

动态规划五部曲:

  • 确定dp数组以及下标的含义

  • 确定递推公式

  • dp数组如何初始化

  • 确定遍历顺序

  • 举例推导dp数组

1.斐波那契数

题目链接:509. 斐波那契数 - 力扣(LeetCode)

思路:做dp类题目,根据dp五部曲来的思路来解决,dp五部曲可以贯彻整个dp专题。

  • 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

  • 确定递推公式

状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  • dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了,如下:

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
  • 确定遍历顺序

dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  • 举例推导dp数组

Code

递归法:

class Solution {
    public int fib(int n) {
        return dfs(n);
    }
    public int dfs(int n){
        if(n==0) return 0;
        if(n==1) return 1;
        return dfs(n-1)+dfs(n-2);
    }
}

动态规划:

压缩版本

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n < 2) return n;
        int a = 0,b = 1,sum = 0;
        for(int i = 1;i < n;i++){
            sum = a + b;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return sum;
    }
}

非压缩版本

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int index = 2; index<=n; index++){
            dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

2. 爬楼梯 - 力扣

题目链接:70. 爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

思路:与上一道题目思路类似

Code

动态规划:

非压缩版本

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;
        int [] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int index = 3;index<=n;index++){
            dp[index] = dp[index-1]+dp[index-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

压缩版本

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;
        int a = 1,b = 2,num = 0;
        for(int i = 3;i <= n;i++){
            num = a + b;
            a = b;
            b = num;
        }
        return num;
    }
}

3.使用最小花费爬楼梯

思路

递归五部曲

  • 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

  • 确定递推公式

**可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

  • dp数组如何初始化

初始化 dp[0] = 0,dp[1] = 0;

  • 确定遍历顺序

dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组

  • 举例推导dp数组

Day38——Dp专题_第1张图片

Code

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        int [] dp = new int [n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[n];
    }
}

4. 不同路径

题目链接:62. 不同路径 - 力扣(LeetCode)

思路:

  • 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] :表示从(0 ,0)出发,到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

  • 确定递推公式

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],因为dp[i][j]只有这两个方向过来

  • dp数组如何初始化

如何初始化呢,首先dp[i][0]一定都是1,因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条,那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为:

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
  • 确定遍历顺序

从左到右,从上到下

  • 举例推导dp数组

Day38——Dp专题_第2张图片

Code

动态规划:

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0;i < m;i++) dp[i][0] = 1;
        for(int j = 0;j < n;j++) dp[0][j] = 1;
        for(int i = 1;i < m;i++){
            for(int j = 1;j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

5.不同路径 II

题目链接:63. 不同路径 II - 力扣(LeetCode)

这一题和上一题的区别是,本题多了障碍物!

题目链接:980. 不同路径 III - 力扣(LeetCode)

思路:

  • 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] :表示从(0 ,0)出发,到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

  • 确定递推公式

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],因为dp[i][j]只有这两个方向过来

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候,再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
  • dp数组如何初始化

Day38——Dp专题_第3张图片

如何初始化呢,首先dp[i][0]一定都是1,因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条,那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为:

for(int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i ++) f[0][i] = 1;
// 当遇到障碍物时循环就会结束了!
for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[0][i] == 0; i ++) f[i][0] = 1;

注意代码里for循环的终止条件,一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作,dp[0][j]同理

  • 确定遍历顺序

从左到右,从上到下

for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}
  • 举例推导dp数组

有障碍物的为1

Day38——Dp专题_第4张图片

Code

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];

        //如果在起点或终点出现了障碍,直接返回0
        if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) {
            return 0;
        }

        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = (obstacleGrid[i][j] == 0) ? dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] : 0;
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

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