代码随想录刷题Day55 | 392. 判断子序列 | 115. 不同的子序列

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392. 判断子序列

题目:

给定字符串 st ,判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些(也可以不删除)字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。(例如,"ace""abcde"的一个子序列,而"aec"不是)。

进阶:

如果有大量输入的 S,称作 S1, S2, … , Sk 其中 k >= 10亿,你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下,你会怎样改变代码?

示例 1:

输入:s = "abc", t = "ahbgdc"
输出:true

思路:

这道题应该算是编辑距离的入门题目,因为从题意中我们也可以发现,只需要计算删除的情况,不用考虑增加和替换的情况。

所以掌握本题也是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础

动态规划五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]

注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

有同学问了,为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢,为啥不表示下标i为结尾的字符串呢?

用i来表示也可以!

但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算,这样在下面的递归公式中会容易理解一些,如果还有疑惑,可以继续往下看。

  1. 确定递推公式

在确定递推公式的时候,首先要考虑如下两种操作,整理如下:

  • if (s[i - 1] == t[j - 1])
    • t中找到了一个字符在s中也出现了
  • if (s[i - 1] != t[j - 1])
    • 相当于t要删除元素,继续匹配

if (s[i - 1] == t[j - 1]),那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;,因为找到了一个相同的字符,相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1(如果不理解,在回看一下dp[i][j]的定义

if (s[i - 1] != t[j - 1]),此时相当于t要删除元素,t如果把当前元素t[j - 1]删除,那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了,即:dp[i][j] = dp[i][j - 1];

  1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。

这里大家已经可以发现,在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]

因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间,如图:

代码随想录刷题Day55 | 392. 判断子序列 | 115. 不同的子序列_第1张图片

如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t,初始化就比较麻烦了。

dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串,与空字符串的相同子序列长度,所以为0. dp[0][j]同理。

其实这里只初始化dp[i][0]就够了,但一起初始化也方便,所以就一起操作了,代码如下:

vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
  1. 确定遍历顺序

同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],那么遍历顺序也应该是从上到下,从左到右

如图所示:

代码随想录刷题Day55 | 392. 判断子序列 | 115. 不同的子序列_第2张图片

  1. 举例推导dp数组

以示例一为例,输入:s = “abc”, t = “ahbgdc”,dp状态转移图如下:

代码随想录刷题Day55 | 392. 判断子序列 | 115. 不同的子序列_第3张图片

dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度,所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明:s与t的最长相同子序列就是s,那么s 就是 t 的子序列。

图中dp[s.size()][t.size()] = 3, 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列,返回true。

代码:

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        //动态规划
        int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
        for(int i = 1; i <= s.length(); i++){
            for(int j = 1; j <= t.length(); j++){
                if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[s.length()][t.length()] == s.length();
    }
}

115. 不同的子序列

题目:

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ,计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指,通过删除一些(也可以不删除)字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。(例如,"ACE""ABCDE" 的一个子序列,而 "AEC" 不是)

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

示例 1:

输入:s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出:3
解释:
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit

思路:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

  1. 确定递推公式

这一类问题,基本是要分析两种情况

  • s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
  • s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j]可以有两部分组成。

一部分是用s[i - 1]来匹配,那么个数为dp[i - 1][j - 1]。

一部分是不用s[i - 1]来匹配,个数为dp[i - 1][j]。

这里可能有同学不明白了,为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配,都相同了指定要匹配啊。

例如: s:bagg 和 t:bag ,s[3] 和 t[2]是相同的,但是字符串s也可以不用s[3]来匹配,即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配,即:s[0]s[1]s[3]组成的bag。

所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时,dp[i][j]只有一部分组成,不用s[i - 1]来匹配,即:dp[i - 1][j]

所以递推公式为:dp[i][j] = dp[i - 1][j];

  1. dp数组如何初始化

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

每次当初始化的时候,都要回顾一下dp[i][j]的定义,不要凭感觉初始化。

dp[i][0]表示什么呢?

dp[i][0] 表示:以i-1为结尾的s可以随便删除元素,出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1,因为也就是把以i-1为结尾的s,删除所有元素,出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j],dp[0][j]:空字符串s可以随便删除元素,出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0,s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了,即:dp[0][0] 应该是多少。

dp[0][0]应该是1,空字符串s,可以删除0个元素,变成空字符串t。

初始化分析完毕,代码如下:

vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起,但我为了凸显初始化的逻辑,所以还是加上了。
  1. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

代码如下:

for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}
  1. 举例推导dp数组

以s:“baegg”,t:"bag"为例,推导dp数组状态如下:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NwNGYpFD-1670213145003)(https://dum1615.oss-cn-chengdu.aliyuncs.com/115.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.jpg)]

如果写出来的代码怎么改都通过不了,不妨把dp数组打印出来,看一看,是不是这样的。

代码:

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int[][] dp = new int[t.length() + 1][s.length() + 1];
        for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i <= t.length(); i++){
            for(int j = 1; j <= s.length(); j++){
                if(s.charAt(j - 1) == t.charAt(i - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i][ j -1];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        // System.out.print(Arrays.deepToString(dp));
        return dp[t.length()][s.length()];
    }
}

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