机器学习数学基础篇一:高数基础

目录

一,函数

1,基本初等函数:

2,初等函数:

了解完这些之后呢,我们还要知道函数的几种特性:

二,极限

1,当我们对数列取极限时,

2,性质

三,无穷小和无穷大

1,无穷小与函数极限的关系

2,一些定理:

3,无穷大时一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。

 4,还有一个很重要的定理:

四,连续性与导数

1,一些事实

2,定义:

3,连续的条件:

5,连续性的概念:

6,间断点:

7,导数

我们要知道的是:

五,偏导数

六,方向导数

 1,如果函数的增量与这两点的距离的比例存在,则称此为在p点沿着L方向的方向导数。

 七,梯度

在我们学习机器学习之前必须要有高数,线代,概率论等方面的数学基础,还要有一些Python的基础,这样你学习机器学习才能如虎添翼。

高等数学的基础主要是下册的更加重要,上册的也比较简单,简单过一下就好。

一,函数

我们对函数的了解应该是很深了,一个x对应一个y,或者多个x对应一个y,这样的关系是允许的。

对一个函数而言,最重要的是它的定义域和对应法则。然后我们要知道什么是基本初等函数和初等函数。

1,基本初等函数:

幂函数,指数函数,三角函数,对数函数,反三角函数

2,初等函数:

由基本初等函数和一些常数之间经过有限的四则运算得到的表达式。

了解完这些之后呢,我们还要知道函数的几种特性:

1,单调性:

2,奇偶性:

3,周期性

4,有界性:有上界和下界,且上下界不唯一,上下界可以不相等。

最后呢,我们再了解一下反函数最好了,什么是反函数?

关于y=x这条线对称的函数互为反函数。

反函数的特性一般与直接函数类似。

二,极限

1,当我们对数列取极限时,

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 n,N都是正整数,A是数列的极限。且N不唯一。

然后我们还要知道几条性质。

2,性质

1)极限的唯一性

2)收敛数列是有界数列

3)局部保号性

4)数列收敛,其子数列也收敛

5)有界数列不一定收敛                  ( -1)^n

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3,如果这样的常数A不存在,就说数列x没有极限,或称数列x是发散的。

4,由定义可知,有无限多个点落在区间内,有限多个点在区间外。

对函数取极限时,分为两种情况,x趋近于x0的情况,和x趋近于无穷的情况。

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1, 注意:

1,x!=x0

2,f(x)的极限与f(x0)能否取值无关。

2,有几条性质:

1)极限唯一性:

2)局部保号性

3)局部有界性:

4)局部保序性:

3,证明极限存在

函数f(x)当x->x0时,极限存在的充要条件是左极限及右极限各自存在并且相等。

三,无穷小和无穷大

无穷小就是极限为0的函数,0也是无穷小。

1,无穷小与函数极限的关系

在自变量的某个变化过程中,函数f(x)有极限A的充要条件是f(x)=A+a,其中a是同一变化过程中的无穷小。

2,一些定理:

1)有限个无穷小的和还是无穷小(无限个的和未必是)

2)常数与无穷小的乘积是无穷小。

3)有限个无穷小的乘积也是无穷小。

4)有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

5)两个无穷小的商不一定是无穷小(无穷小的比较)

3,无穷大时一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。

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 4,还有一个很重要的定理:

在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小,反之亦然成立。

四,连续性与导数

1,一些事实

1)两个连续函数的和差积商也连续

2)直接函数在区间上连续,反函数也连续

3)复合函数内外部函数连续,复合函数在x=x0处也连续。

2,定义:

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3,连续的条件:

1)f(x)在x0及其左右近旁有定义

2)f(x)在x0的极限存在

3)f(x)在x0的极限值与函数值相等。

4,函数f(x)在x0处连续<=>f(x)在x0上既左连续又右连续。

5,连续性的概念:

基本初等函数在其定义域内每点处均连续,初等函数在定义区间内均连续。

6,间断点:

1)第一类间断点:

左右极限都存在,若相等那就是可去间断点。若不相等就是跳跃间断点。

2)除了第一类间断点以外都是第二类间断点。其中极限为无穷的称为无穷间断点。 

7,导数

基本的定义就不讲了,这些是高中就学过的。

我们要知道的是:

1,可导一定连续,连续不一定可导,不可导也能连续。

2,可导的奇(偶)函数,其导函数也是奇(偶)函数。

3,反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

4,隐函数

就是不方便用y和x的关系式表达的函数。

隐函数求导的两种方法:

1)两边同时求导

2)取对数

5,参数方程的导数就是y‘/x’.

6,驻点:一阶导为0和不可导的值。函数的单调性变化。

拐点:是一个坐标,二阶导为0和不可导的点,

7,可导函数的极值点必是驻点,反过来不成立。

五,偏导数

二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率,随y变化的变化率,随x和y的变化率。

求对x的偏导就是把y看作常数,然后对式子求导数。

六,方向导数

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 1,如果函数的增量与这两点的距离的比例存在,则称此为在p点沿着L方向的方向导数。

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 七,梯度

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高数方面的基础知识就是这么多,后面会出视频讲解,这些东西光看是很难看懂的,是很无趣且枯燥的。 

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